Решение задачи: Площадь проекции равностороннего треугольника

Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний, \( AC = 10 \) см, \( \alpha \) — плоскость, \( AC \subset \alpha \), \( \angle(ABC, \alpha) = 60^\circ \). Найти: \( S_{пр} \) — площадь проекции \( \triangle ABC \) на плоскость \( \alpha \). Решение: 1. Сначала найдем площадь равностороннего треугольника \( ABC \). Формула площади правильного треугольника через его сторону \( a \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставим значение \( a = AC = 10 \) см: \[ S_{ABC} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2 \] 2. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника, площадь проекции \( S_{пр} \) равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла \( \varphi \) между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: \[ S_{пр} = S_{ABC} \cdot \cos \varphi \] В нашей задаче угол \( \varphi = 60^\circ \). 3. Вычислим искомую площадь: \[ S_{пр} = 25\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ \] Так как \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), получаем: \[ S_{пр} = 25\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 12,5\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Ответ: \( 12,5\sqrt{3} \text{ см}^2 \).