Упрощение выражения: 1/(11 + 2√30) + 1/(11 - 2√30)

Задание: упростить выражение. \[ \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} \] Решение: Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей этих дробей. \[ \frac{1 \cdot (11 - 2\sqrt{30}) + 1 \cdot (11 + 2\sqrt{30})}{(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})} \] В числителе раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ \frac{11 - 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})} = \frac{22}{(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})} \] В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \): \[ \frac{22}{11^2 - (2\sqrt{30})^2} \] Вычислим значения в знаменателе: \( 11^2 = 121 \) \( (2\sqrt{30})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{30})^2 = 4 \cdot 30 = 120 \) Подставим полученные значения: \[ \frac{22}{121 - 120} = \frac{22}{1} = 22 \] Ответ: 22