Решение задачи №5: Расчет увеличения линзы

Решение задачи №5 Дано: \( \Gamma_2 = 2 \) (конечное увеличение) \( l_1 = 3 \) см \( = 0,03 \) м \( l_2 = 6 \) см \( = 0,06 \) м Найти: \( \Gamma_1 \) (первоначальное увеличение) Решение: 1. Формула увеличения тонкой линзы: \[ \Gamma = \frac{|f|}{d} \] Для собирающей линзы мнимое изображение получается, когда предмет находится между фокусом и линзой (\( d < F \)). В этом случае формула тонкой линзы имеет вид: \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{1}{d} - \frac{1}{F} = \frac{F - d}{dF} \] Отсюда расстояние до изображения: \[ |f| = \frac{dF}{F - d} \] Подставим это в формулу увеличения: \[ \Gamma = \frac{F}{F - d} \] 2. По условию, при изменении расстояния на \( l_1 \) (приближение) или на \( l_2 \) (удаление) увеличение становится равным \( \Gamma_2 = 2 \). Если мы приближаем предмет к линзе (\( d_1 - l_1 \)), изображение остается мнимым. Если удаляем (\( d_1 + l_2 \)), изображение может стать действительным. Для мнимого изображения: \( \Gamma_2 = \frac{F}{F - (d_1 - l_1)} \) Для действительного изображения: \( \Gamma_2 = \frac{F}{(d_1 + l_2) - F} \) 3. Запишем систему уравнений для трех случаев: Начальное состояние: \( \Gamma_1 = \frac{F}{F - d_1} \) (1) Приближение: \( 2 = \frac{F}{F - d_1 + l_1} \) (2) Удаление: \( 2 = \frac{F}{d_1 + l_2 - F} \) (3) 4. Из уравнений (2) и (3) найдем \( F \) и \( d_1 \): Из (2): \( 2F - 2d_1 + 2l_1 = F \implies F + 2l_1 = 2d_1 \) Из (3): \( 2d_1 + 2l_2 - 2F = F \implies 2d_1 + 2l_2 = 3F \) Подставим \( 2d_1 \) из первого во второе: \[ F + 2l_1 + 2l_2 = 3F \] \[ 2F = 2l_1 + 2l_2 \implies F = l_1 + l_2 \] \[ F = 3 + 6 = 9 \text{ см} \] 5. Найдем начальное расстояние \( d_1 \): \[ 2d_1 = F + 2l_1 = 9 + 2 \cdot 3 = 15 \implies d_1 = 7,5 \text{ см} \] 6. Вычислим первоначальное увеличение \( \Gamma_1 \) по формуле (1): \[ \Gamma_1 = \frac{9}{9 - 7,5} = \frac{9}{1,5} = 6 \] Ответ: первоначальное увеличение предмета было равно 6.