Решение Задания 1 и 2. Вариант 2

Вариант 2 Задание 1 Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, нужно подставить значения \(x\) и \(y\) в каждое уравнение системы. Система уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = -6 \end{cases} \] 1) Проверим пару (1; 2): \[ 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \] (верно) \[ 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \neq -6 \] (неверно) Пара (1; 2) не является решением. 2) Проверим пару (-1; 3): \[ -1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5 \] (верно) \[ 3 \cdot (-1) - 3 = -3 - 3 = -6 \] (верно) Пара (-1; 3) является решением. 3) Проверим пару (7; -1): \[ 7 + 2 \cdot (-1) = 7 - 2 = 5 \] (верно) \[ 3 \cdot 7 - (-1) = 21 + 1 = 22 \neq -6 \] (неверно) Пара (7; -1) не является решением. Ответ: (-1; 3). Задание 2 Решите графически систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases} \] Выразим \(y\) через \(x\) в каждом уравнении: 1) \(y = 2x\) 2) \(y = 3 - x\) Построим таблицы значений для прямых: Для \(y = 2x\): Если \(x = 0\), то \(y = 0\). Точка (0; 0). Если \(x = 1\), то \(y = 2\). Точка (1; 2). Для \(y = 3 - x\): Если \(x = 0\), то \(y = 3\). Точка (0; 3). Если \(x = 3\), то \(y = 0\). Точка (3; 0). При построении графиков на координатной плоскости прямые пересекутся в точке (1; 2). Проверка: \(2 \cdot 1 - 2 = 0\) и \(1 + 2 = 3\). Ответ: (1; 2). Задание 3 Выясните, имеет ли система решения и сколько. Для этого сравним коэффициенты уравнений вида \(a_1x + b_1y = c_1\) и \(a_2x + b_2y = c_2\). а) \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases} \] Отношения коэффициентов: \[ \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]; \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]; \[ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Так как \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\), прямые совпадают. Ответ: система имеет бесконечно много решений. б) \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases} \] Отношения коэффициентов: \[ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]; \[ \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \] Так как \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) (\(1/3 \neq -1/3\)), прямые пересекаются. Ответ: система имеет одно решение. в) \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 9 \end{cases} \] Отношения коэффициентов: \[ \frac{4}{2} = 2 \]; \[ \frac{1}{0,5} = 2 \]; \[ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Так как \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) (\(2 = 2 \neq 2/3\)), прямые параллельны. Ответ: система не имеет решений.