Решение задачи на степени с корнями при w = 3

Задание: Найди значение выражения \[ \frac{w^3 \cdot \sqrt[60]{w^7}}{\sqrt[15]{w} \cdot \sqrt[20]{w}} \text{ при } w = 3 \] Решение: Для решения воспользуемся свойствами степеней. Представим все корни в виде степеней с дробным показателем по формуле \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \): \[ \frac{w^3 \cdot w^{\frac{7}{60}}}{w^{\frac{1}{15}} \cdot w^{\frac{1}{20}}} \] При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. Объединим всё в одну степень: \[ w^{3 + \frac{7}{60} - \frac{1}{15} - \frac{1}{20}} \] Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 60: \( \frac{1}{15} = \frac{4}{60} \) \( \frac{1}{20} = \frac{3}{60} \) Вычислим значение показателя: \[ 3 + \frac{7}{60} - \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = 3 + \frac{7 - 4 - 3}{60} = 3 + \frac{0}{60} = 3 \] Таким образом, выражение упрощается до: \[ w^3 \] Подставим значение \( w = 3 \): \[ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \] Ответ: 27.