Решение контрольной работы №4 по квадратным уравнениям (Вариант 2)

Контрольная работа № 4 по теме «Квадратные уравнения» Вариант 2 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 3x^2 - 7x + 2 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] \[ \sqrt{D} = 5 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3}; 2 \). б) \( 25x^2 - 81 = 0 \) \[ 25x^2 = 81 \] \[ x^2 = \frac{81}{25} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{81}{25}} \] \[ x_1 = 1,8; x_2 = -1,8 \] Ответ: \( -1,8; 1,8 \). в) \( 6x^2 = 18x \) \[ 6x^2 - 18x = 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ 6x(x - 3) = 0 \] \[ 6x = 0 \text{ или } x - 3 = 0 \] \[ x_1 = 0; x_2 = 3 \] Ответ: \( 0; 3 \). г) \( (x - 2)^2 - 3(x - 2) - 54 = 0 \) Пусть \( x - 2 = t \), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 3t - 54 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 3 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -54 \] Отсюда \( t_1 = 9, t_2 = -6 \). Вернемся к замене: 1) \( x - 2 = 9 \Rightarrow x_1 = 11 \) 2) \( x - 2 = -6 \Rightarrow x_2 = -4 \) Ответ: \( -4; 11 \). Задание 2. Пусть \( x \) — первое натуральное число, тогда \( (x + 5) \) — второе число. По условию их произведение равно 104: \[ x(x + 5) = 104 \] \[ x^2 + 5x - 104 = 0 \] \[ D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441 = 21^2 \] \[ x_1 = \frac{-5 + 21}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 21}{2} = -13 \] (не подходит, так как число должно быть натуральным) Первое число: 8. Второе число: \( 8 + 5 = 13 \). Ответ: 8 и 13. Задание 3. Уравнение: \( x^2 - x + q = 0 \). По теореме Виета: 1) \( x_1 + x_2 = 1 \) 2) \( x_1 \cdot x_2 = q \) Также дано условие: \( 7x_1 + 6x_2 = 0 \). Выразим \( x_1 \) из первого уравнения: \( x_1 = 1 - x_2 \). Подставим в условие: \[ 7(1 - x_2) + 6x_2 = 0 \] \[ 7 - 7x_2 + 6x_2 = 0 \] \[ -x_2 = -7 \Rightarrow x_2 = 7 \] Найдем \( x_1 \): \[ x_1 = 1 - 7 = -6 \] Найдем \( q \): \[ q = x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 7 = -42 \] Ответ: \( x_1 = -6, x_2 = 7, q = -42 \). Задание 4. Решите уравнение: а) \( \frac{y+4}{y+2} = \frac{2y-1}{y} \) ОДЗ: \( y \neq -2, y \neq 0 \). Используем свойство пропорции: \[ y(y + 4) = (2y - 1)(y + 2) \] \[ y^2 + 4y = 2y^2 + 4y - y - 2 \] \[ y^2 - y - 2 = 0 \] По теореме Виета: \( y_1 = 2, y_2 = -1 \). Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \( -1; 2 \). б) \( \frac{x-7}{x-2} + \frac{x+4}{x+2} = 1 \) ОДЗ: \( x \neq 2, x \neq -2 \). Приведем к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \): \[ (x-7)(x+2) + (x+4)(x-2) = (x-2)(x+2) \] \[ x^2 + 2x - 7x - 14 + x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 - 4 \] \[ 2x^2 - 3x - 22 = x^2 - 4 \] \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 6, x_2 = -3 \). Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \( -3; 6 \).