Решение: Производная функции равна 0

Задание 1. Выяснить, при каких значениях \(x\) значение производной функции равно 0. 1. \(f(x) = x - \cos x\) Находим производную: \[f'(x) = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x\] Приравниваем к нулю: \[1 + \sin x = 0\] \[\sin x = -1\] \[x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\). 2. \(f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x\) Находим производную: \[f'(x) = \left(\frac{1}{2}x\right)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x\] Приравниваем к нулю: \[\frac{1}{2} - \cos x = 0\] \[\cos x = \frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\). 3. \(f(x) = 2\ln(x + 3) - x\) Область определения: \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\). Находим производную: \[f'(x) = \frac{2}{x + 3} - 1\] Приравниваем к нулю: \[\frac{2}{x + 3} - 1 = 0\] \[\frac{2}{x + 3} = 1\] \[x + 3 = 2\] \[x = -1\] Значение \(x = -1\) входит в область определения. Ответ: \(x = -1\). 4. \(f(x) = \ln(x + 1) - 2x\) Область определения: \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\). Находим производную: \[f'(x) = \frac{1}{x + 1} - 2\] Приравниваем к нулю: \[\frac{1}{x + 1} - 2 = 0\] \[\frac{1}{x + 1} = 2\] \[2(x + 1) = 1\] \[2x + 2 = 1\] \[2x = -1\] \[x = -0,5\] Значение \(x = -0,5\) входит в область определения. Ответ: \(x = -0,5\). 5. \(f(x) = x^2 + 2x - 12\ln x\) Область определения: \(x > 0\). Находим производную: \[f'(x) = 2x + 2 - \frac{12}{x}\] Приравниваем к нулю: \[2x + 2 - \frac{12}{x} = 0\] Умножим на \(x\) (так как \(x > 0\)): \[2x^2 + 2x - 12 = 0\] Разделим на 2: \[x^2 + x - 6 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = -3, x_2 = 2\] Учитывая область определения \(x > 0\), подходит только \(x = 2\). Ответ: \(x = 2\). 6. \(f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x\) Область определения: \(x > 0\). Находим производную: \[f'(x) = 2x - 6 - \frac{8}{x}\] Приравниваем к нулю: \[2x - 6 - \frac{8}{x} = 0\] Умножим на \(x\): \[2x^2 - 6x - 8 = 0\] Разделим на 2: \[x^2 - 3x - 4 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 4, x_2 = -1\] Учитывая область определения \(x > 0\), подходит только \(x = 4\). Ответ: \(x = 4\).