Решение задачи о движении поездов

Задача №8 Пусть \(x\) км/ч — скорость скорого поезда, а \(y\) км/ч — скорость товарного поезда. Из условия задачи известно: 1. Расстояние между станциями \(S = 450\) км. 2. Скорый поезд был в пути до встречи \(3 + 3 = 6\) часов, а товарный — \(3\) часа. Вместе они прошли все расстояние: \[6x + 3y = 450\] Разделим уравнение на 3 для упрощения: \[2x + y = 150 \implies y = 150 - 2x\] 3. Товарный поезд проходит весь путь на 7 ч 30 мин медленнее скорого. Переведем время в часы: 7 ч 30 мин = \(7,5\) часа. Время скорого поезда: \(\frac{450}{x}\). Время товарного поезда: \(\frac{450}{y}\). Уравнение: \[\frac{450}{y} - \frac{450}{x} = 7,5\] Подставим \(y = 150 - 2x\) во второе уравнение: \[\frac{450}{150 - 2x} - \frac{450}{x} = 7,5\] Разделим обе части на 7,5: \[\frac{60}{150 - 2x} - \frac{60}{x} = 1\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{60x - 60(150 - 2x)}{x(150 - 2x)} = 1\] \[60x - 9000 + 120x = 150x - 2x^2\] \[2x^2 + 180x - 150x - 9000 = 0\] \[2x^2 + 30x - 9000 = 0\] Разделим на 2: \[x^2 + 15x - 4500 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225 = 135^2\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60\] \[x_2 = \frac{-15 - 135}{2} = -75 \text{ (не подходит по смыслу задачи)}\] Скорость скорого поезда \(x = 60\) км/ч. Найдем скорость товарного поезда: \[y = 150 - 2 \cdot 60 = 150 - 120 = 30 \text{ км/ч}\] Ответ: скорость скорого поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 30 км/ч.