Решение задач: Колебания маятника

Ниже представлено решение задач из домашнего задания, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \( \nu = 0,5 \) Гц \( g_{л} = 1,6 \) м/с\(^2\) Найти: \( l \) — ? Решение: Частота колебаний математического маятника определяется формулой: \[ \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \] Возведем обе части в квадрат: \[ \nu^2 = \frac{g}{4\pi^2 l} \] Отсюда выразим длину нити \( l \): \[ l = \frac{g}{4\pi^2 \nu^2} \] Подставим значения: \[ l = \frac{1,6}{4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,5^2} \approx \frac{1,6}{4 \cdot 9,87 \cdot 0,25} = \frac{1,6}{9,87} \approx 0,162 \text{ м} \] Ответ: \( l \approx 0,16 \) м (или 16 см). Задача 2 Дано: \( \nu = 4 \) Гц \( S = 0,65 \) км \( = 650 \) м \( v = 54 \) км/ч \( = \frac{54}{3,6} = 15 \) м/с Найти: \( N \) — ? Решение: Время полета вороны найдем по формуле: \[ t = \frac{S}{v} \] \[ t = \frac{650}{15} \approx 43,33 \text{ с} \] Количество взмахов (колебаний) равно произведению частоты на время: \[ N = \nu \cdot t \] \[ N = 4 \cdot \frac{650}{15} = \frac{2600}{15} \approx 173,3 \] Так как количество взмахов — целое число, округляем. Ответ: \( N \approx 173 \) взмаха. Задача 3 Дано: \( t = 25 \) с \( k = 45 \) Н/м \( m = 150 \) г \( = 0,15 \) кг Найти: \( T \) — ?, \( N \) — ? Решение: Период колебаний пружинного маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] \[ T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,15}{45}} = 6,28 \cdot \sqrt{\frac{1}{300}} \approx 6,28 \cdot 0,0577 \approx 0,36 \text{ с} \] Количество колебаний за время \( t \): \[ N = \frac{t}{T} \] \[ N = \frac{25}{0,36} \approx 69,4 \] Ответ: \( T \approx 0,36 \) с; \( N \approx 69 \). Задача 4 Дано: \( \nu_2 = 3\nu_1 \) Найти: \( \frac{k_2}{k_1} \) — ? Решение: Частота колебаний пружинного маятника: \[ \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \] Запишем отношение частот: \[ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}} \] По условию \( \frac{\nu_2}{\nu_1} = 3 \), следовательно: \[ 3 = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}} \] Возведем в квадрат: \[ \frac{k_2}{k_1} = 9 \] Ответ: жесткость пружины нужно увеличить в 9 раз.