Решение задач 550, 551, 552 по геометрии

Решение задач для тетради: Задача №550 По данным рисунка 193 найдем \(x\) и \(y\). 1) На первом рисунке изображены два прямоугольных треугольника с равными острыми углами \(\alpha\). Треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам: прямой угол и угол \(\alpha\)). Запишем отношение соответственных сторон: \[ \frac{x}{8} = \frac{6}{12} \] Отсюда находим \(x\): \[ x = \frac{8 \cdot 6}{12} = \frac{48}{12} = 4 \] 2) На втором рисунке изображены два прямоугольных треугольника с общим острым углом (малый треугольник внутри большого). Треугольники подобны по двум углам (общий острый угол и прямые углы). Запишем отношение соответственных сторон (катет к катету): \[ \frac{y}{20} = \frac{10}{8} \] Отсюда находим \(y\): \[ y = \frac{20 \cdot 10}{8} = \frac{200}{8} = 25 \] Ответ: \(x = 4\), \(y = 25\). Задача №551 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(E \in CD\), \(AE \cap BC = F\). а) \(DE = 8\) см, \(EC = 4\) см, \(BC = 7\) см, \(AE = 10\) см. Найти: \(EF\) и \(FC\). Решение: Рассмотрим \(\triangle ADE\) и \(\triangle FCE\). 1. \(\angle AED = \angle FEC\) как вертикальные. 2. \(\angle D = \angle ECF\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BF\) и секущей \(CD\). Следовательно, \(\triangle ADE \sim \triangle FCE\) по двум углам. Запишем равенство отношений сторон: \[ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{EF} \] Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD = BC = 7\) см. Подставим известные значения: \[ \frac{7}{FC} = \frac{8}{4} = \frac{10}{EF} \] Из отношения \(\frac{8}{4} = 2\) получаем: 1) \(FC = \frac{7}{2} = 3,5\) см. 2) \(EF = \frac{10}{2} = 5\) см. Ответ: \(EF = 5\) см, \(FC = 3,5\) см. б) \(DE\) и \(EC\), если \(AB = 8\) см, \(AD = 5\) см, \(CF = 2\) см. Решение: Из подобия \(\triangle ADE \sim \triangle FCE\) имеем: \[ \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{FC} \] Подставим значения (\(AD = 5\), \(FC = 2\)): \[ \frac{DE}{EC} = \frac{5}{2} = 2,5 \implies DE = 2,5 \cdot EC \] Так как \(CD = AB = 8\) см (противоположные стороны параллелограмма), то: \[ DE + EC = 8 \] \[ 2,5 \cdot EC + EC = 8 \] \[ 3,5 \cdot EC = 8 \] \[ EC = \frac{8}{3,5} = \frac{80}{35} = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \text{ см} \] \[ DE = 8 - 2\frac{2}{7} = 5\frac{5}{7} \text{ см} \] Ответ: \(DE = 5\frac{5}{7}\) см, \(EC = 2\frac{2}{7}\) см. Задача №552 Дано: трапеция \(ABCD\), \(AB \parallel CD\), \(AC \cap BD = O\). а) \(OB = 4\) см, \(OD = 10\) см, \(DC = 25\) см. Найти: \(AB\). Решение: Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). 1. \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные. 2. \(\angle OAB = \angle OCD\) как накрест лежащие при \(AB \parallel CD\) и секущей \(AC\). Следовательно, \(\triangle AOB \sim \triangle COD\) по двум углам. Запишем отношение сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} \] \[ \frac{AB}{25} = \frac{4}{10} \] \[ AB = \frac{25 \cdot 4}{10} = \frac{100}{10} = 10 \text{ см} \] Ответ: \(AB = 10\) см. б) Найти \(\frac{AO}{OC}\) и \(\frac{BO}{OD}\), если \(AB = a\), \(DC = b\). Решение: Из подобия \(\triangle AOB \sim \triangle COD\) следует: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} = \frac{a}{b} \] Ответ: \(\frac{a}{b}\). в) Найти \(AO\), если \(AB = 9,6\) дм, \(DC = 24\) см, \(AC = 15\) см. Решение: Переведем единицы: \(AB = 9,6 \text{ дм} = 96 \text{ см}\). Из подобия \(\triangle AOB \sim \triangle COD\): \[ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{96}{24} = 4 \] Значит, \(AO = 4 \cdot OC\). Так как \(AO + OC = AC = 15\) см: \[ 4 \cdot OC + OC = 15 \] \[ 5 \cdot OC = 15 \implies OC = 3 \text{ см} \] \[ AO = 15 - 3 = 12 \text{ см} \] Ответ: \(AO = 12\) см.