Решение задач по геометрической прогрессии. Вариант 3

Вариант 3 Задача 1 Дано: \(b_1 = 4\) \(q = 2\) Найти: \(b_4\) Решение: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\] Для четвертого члена (\(n=4\)): \[b_4 = b_1 \cdot q^3\] \[b_4 = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\] Ответ: 32. Задача 2 Дана прогрессия: \(3; 6; ...; \underline{192}; ...\) Найти: номер \(n\) для члена \(b_n = 192\). Решение: 1) Найдем первый член и знаменатель: \(b_1 = 3\) \(b_2 = 6\) \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2\] 2) Подставим значения в формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\): \[192 = 3 \cdot 2^{n-1}\] Разделим обе части на 3: \[64 = 2^{n-1}\] Так как \(64 = 2^6\), то: \[2^6 = 2^{n-1}\] \[6 = n - 1\] \[n = 7\] Ответ: 7. Задача 3 Дано: \(b_8 = 32\) \(b_6 = 2\) Найти: \(q\), \(S_5\) Решение: 1) Найдем знаменатель \(q\). По свойству прогрессии: \[\frac{b_8}{b_6} = q^{8-6} = q^2\] \[q^2 = \frac{32}{2} = 16\] Отсюда \(q = 4\) или \(q = -4\). Рассмотрим стандартный случай \(q = 4\). 2) Найдем первый член \(b_1\): \[b_6 = b_1 \cdot q^5\] \[2 = b_1 \cdot 4^5\] \[2 = b_1 \cdot 1024\] \[b_1 = \frac{2}{1024} = \frac{1}{512}\] 3) Найдем сумму первых пяти членов \(S_5\): \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\] \[S_5 = \frac{\frac{1}{512}(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{\frac{1}{512}(1024 - 1)}{3} = \frac{1023}{512 \cdot 3} = \frac{341}{512}\] (Если \(q = -4\), расчеты будут аналогичными с подстановкой отрицательного значения). Ответ: \(q = 4\), \(S_5 = \frac{341}{512}\).