Решение тригонометрического уравнения cos x sin(3π/14) + sin x sin(2π/7) = 0.5

Решение задачи по тригонометрии. а) Решим уравнение: \[ \cos x \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{14} \right) + \sin x \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) = 0,5 \] Для начала заметим, что аргументы синусов можно привести к общему знаменателю или выразить один через другой. Заметим, что: \[ \frac{2\pi}{7} = \frac{4\pi}{14} \] Также вспомним формулу приведения \( \sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \). Применим её ко второму слагаемому: \[ \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7} \right) = \cos \left( \frac{7\pi - 4\pi}{14} \right) = \cos \left( \frac{3\pi}{14} \right) \] Подставим это в исходное уравнение: \[ \cos x \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{14} \right) + \sin x \cdot \cos \left( \frac{3\pi}{14} \right) = 0,5 \] Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \). В нашем случае \( \alpha = x \), а \( \beta = \frac{3\pi}{14} \): \[ \sin \left( x + \frac{3\pi}{14} \right) = \frac{1}{2} \] Решим простейшее тригонометрическое уравнение: 1) \( x + \frac{3\pi}{14} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{14} + 2\pi k = \frac{7\pi - 9\pi}{42} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{42} + 2\pi k = -\frac{\pi}{21} + 2\pi k \] 2) \( x + \frac{3\pi}{14} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) \[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{14} + 2\pi k = \frac{35\pi - 9\pi}{42} + 2\pi k = \frac{26\pi}{42} + 2\pi k = \frac{13\pi}{21} + 2\pi k \] б) Найдем корни на промежутке \( \left[ \frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right] \). Переведем границы в дроби со знаменателем 21 для удобства сравнения: \( \frac{7\pi}{2} = \frac{73,5\pi}{21} \), \( \frac{9\pi}{2} = \frac{94,5\pi}{21} \). Проверим первую серию \( x = -\frac{\pi}{21} + 2\pi k \): При \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{21} + 4\pi = \frac{83\pi}{21} \). Это число входит в промежуток, так как \( 73,5 < 83 < 94,5 \). Проверим вторую серию \( x = \frac{13\pi}{21} + 2\pi k \): При \( k = 2 \): \( x = \frac{13\pi}{21} + 4\pi = \frac{13\pi + 84\pi}{21} = \frac{97\pi}{21} \). Это больше \( \frac{94,5\pi}{21} \), не подходит. При \( k = 1 \): \( x = \frac{13\pi}{21} + 2\pi = \frac{55\pi}{21} \). Это меньше \( \frac{73,5\pi}{21} \), не подходит. Ответ: а) \( x = -\frac{\pi}{21} + 2\pi k \); \( x = \frac{13\pi}{21} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{83\pi}{21} \).