Решение задачи по тригонометрии: формулы приведения и вычисления

Вариант 1 Задание 1. Найдите значение выражения: \[ \frac{2\cos(\pi - \beta) - \sin(-\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\beta - \pi)} \] Решение: Используем формулы приведения: 1) \( \cos(\pi - \beta) = -\cos \beta \) 2) \( \sin(-\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = -\cos \beta \) 3) \( \cos(\beta - \pi) = \cos(\pi - \beta) = -\cos \beta \) Подставим в выражение: \[ \frac{2(-\cos \beta) - (-\cos \beta)}{-\cos \beta} = \frac{-2\cos \beta + \cos \beta}{-\cos \beta} = \frac{-\cos \beta}{-\cos \beta} = 1 \] Ответ: 1 Задание 2. Найдите \( 11\sin(\frac{5\pi}{2} + \alpha) \), если \( \sin \alpha = -0,8 \) и \( \alpha \in (\pi; 1,5\pi) \). Решение: 1) Упростим выражение по формуле приведения: \( 11\sin(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = 11\sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = 11\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 11\cos \alpha \) 2) Найдем \( \cos \alpha \) через основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \) Так как \( \alpha \) находится в III четверти \( (\pi; 1,5\pi) \), косинус там отрицательный: \( \cos \alpha = -0,6 \) 3) Вычислим итоговое значение: \( 11 \cdot (-0,6) = -6,6 \) Ответ: -6,6 Задание 3. Найдите \( 20\cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) \), если \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \alpha \in (1,5\pi; 2\pi) \). Решение: 1) Упростим выражение: \( 20\cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = 20\cos(3\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = 20(-\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -20\sin \alpha \) 2) Найдем \( \sin \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \) Так как \( \alpha \) находится в IV четверти \( (1,5\pi; 2\pi) \), синус там отрицательный: \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} = -0,8 \) 3) Вычислим: \( -20 \cdot (-0,8) = 16 \) Ответ: 16 Задание 4. Найдите \( \text{tg}(\alpha - \frac{5\pi}{2}) \), если \( \text{tg} \alpha = 4 \). Решение: 1) Упростим выражение: \( \text{tg}(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = -\text{tg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = -\text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg} \alpha \) 2) Так как \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \): \( -\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{4} = -0,25 \) Ответ: -0,25 Задание 5. Найдите значение выражения \( 3\cos(\pi + \beta) + 2\sin(-\frac{\pi}{2} + \beta) \), если \( \cos \beta = -\frac{3}{5} \). Решение: 1) Применим формулы приведения: \( 3\cos(\pi + \beta) = -3\cos \beta \) \( 2\sin(-\frac{\pi}{2} + \beta) = -2\sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = -2\cos \beta \) 2) Сложим полученные выражения: \( -3\cos \beta - 2\cos \beta = -5\cos \beta \) 3) Подставим значение \( \cos \beta = -0,6 \): \( -5 \cdot (-0,6) = 3 \) Ответ: 3