Решение задач: Правильный треугольник

Решение задач по теме Правильные многоугольники. Часть 1. Правильный треугольник. Используемые формулы: Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{R}{2} \) Сторона треугольника: \( a_3 = R\sqrt{3} \) Периметр: \( P = 3a_3 \) Площадь: \( S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \) Строка 1: Дано \( R = 4\sqrt{3} \) 1. Находим \( r \): \[ r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] 2. Находим \( a_3 \): \[ a_3 = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \] 3. Находим \( P \): \[ P = 3 \cdot 12 = 36 \] 4. Находим \( S \): \[ S = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \] Строка 2: Дано \( a_3 = 2 \) 1. Находим \( R \): \[ R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] 2. Находим \( r \): \[ r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 3. Находим \( P \): \[ P = 3 \cdot 2 = 6 \] 4. Находим \( S \): \[ S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \] Часть 2. Правильный шестиугольник. Используемые формулы: Сторона шестиугольника: \( a_6 = R \) Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \) Периметр: \( P = 6a_6 \) Площадь: \( S = \frac{3a_6^2\sqrt{3}}{2} \) Строка 1: Дано \( a_6 = 8 \) 1. Находим \( R \): \[ R = a_6 = 8 \] 2. Находим \( r \): \[ r = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \] 3. Находим \( P \): \[ P = 6 \cdot 8 = 48 \] 4. Находим \( S \): \[ S = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 32 \cdot \sqrt{3} = 96\sqrt{3} \] Строка 2: Дано \( P = 60 \) 1. Находим \( a_6 \): \[ a_6 = \frac{P}{6} = \frac{60}{6} = 10 \] 2. Находим \( R \): \[ R = a_6 = 10 \] 3. Находим \( r \): \[ r = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] 4. Находим \( S \): \[ S = \frac{3 \cdot 10^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{300\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \]