Решение системы уравнений: x^2 - xy + y^2 = 19 и 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Решим систему методом исключения свободных членов. Для этого умножим первое уравнение на 42, а второе на 19: \[ \begin{cases} 42x^2 - 42xy + 42y^2 = 798 \\ 57x^2 - 76xy + 57y^2 = 798 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \[ (57x^2 - 42x^2) + (-76xy + 42xy) + (57y^2 - 42y^2) = 0 \] \[ 15x^2 - 34xy + 15y^2 = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии \( y \neq 0 \), так как если \( y = 0 \), то из первого уравнения \( x^2 = 19 \), а из второго \( 3x^2 = 42 \), что невозможно): \[ 15\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 34\left(\frac{x}{y}\right) + 15 = 0 \] Пусть \( \frac{x}{y} = t \). Тогда: \[ 15t^2 - 34t + 15 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256 = 16^2 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{34 + 16}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \] \[ t_2 = \frac{34 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \] Рассмотрим два случая: 1) Если \( \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \), то \( x = \frac{5}{3}y \). Подставим в первое уравнение системы: \[ \left(\frac{5}{3}y\right)^2 - \left(\frac{5}{3}y\right)y + y^2 = 19 \] \[ \frac{25}{9}y^2 - \frac{5}{3}y^2 + y^2 = 19 \] Приведем к общему знаменателю 9: \[ \frac{25y^2 - 15y^2 + 9y^2}{9} = 19 \] \[ \frac{19y^2}{9} = 19 \Rightarrow y^2 = 9 \] Отсюда \( y_1 = 3, y_2 = -3 \). Тогда \( x_1 = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5 \) и \( x_2 = \frac{5}{3} \cdot (-3) = -5 \). 2) Если \( \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \), то \( x = \frac{3}{5}y \). Подставим в первое уравнение: \[ \left(\frac{3}{5}y\right)^2 - \left(\frac{3}{5}y\right)y + y^2 = 19 \] \[ \frac{9}{25}y^2 - \frac{3}{5}y^2 + y^2 = 19 \] Приведем к общему знаменателю 25: \[ \frac{9y^2 - 15y^2 + 25y^2}{25} = 19 \] \[ \frac{19y^2}{25} = 19 \Rightarrow y^2 = 25 \] Отсюда \( y_3 = 5, y_4 = -5 \). Тогда \( x_3 = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3 \) и \( x_4 = \frac{3}{5} \cdot (-5) = -3 \). Ответ: \( (5; 3), (-5; -3), (3; 5), (-3; -5) \).