Решение задачи: Уравнение прямой PR и медиана треугольника ACM

Задача 1. Дано: \(P(-4; 0)\), \(R(4; 4)\). Составить уравнение прямой PR. Решение: Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \): \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] Подставим координаты точек P и R: \[ \frac{x - (-4)}{4 - (-4)} = \frac{y - 0}{4 - 0} \] \[ \frac{x + 4}{8} = \frac{y}{4} \] Умножим обе части уравнения на 8: \[ x + 4 = 2y \] \[ x - 2y + 4 = 0 \] Или в виде функции: \[ y = 0,5x + 2 \] Ответ: \( y = 0,5x + 2 \) (или \( x - 2y + 4 = 0 \)). Задача 2. Дано: Треугольник ABM (в условии опечатка, даны точки A, C, M, будем считать треугольник ACM). \(A(-2; 5)\), \(C(-3; -3)\), \(M(5; 1)\). Найти уравнение медианы из вершины A. Решение: 1. Медиана из вершины A проводится к середине стороны CM. Пусть это точка K. Координаты точки K \( (x_k; y_k) \) вычисляются как среднее арифметическое координат C и M: \[ x_k = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_k = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Точка \( K(1; -1) \). 2. Составим уравнение прямой AK через точки \( A(-2; 5) \) и \( K(1; -1) \): \[ \frac{x - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \] \[ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{-6} \] Умножим на -6: \[ -2(x + 2) = y - 5 \] \[ -2x - 4 = y - 5 \] \[ y = -2x + 1 \] Ответ: \( y = -2x + 1 \). Задача 3. Дано: Трапеция \(K(-3; 0)\), \(L(-5; 6)\), \(M(1; 3)\), \(N(-1; -1)\). Найти уравнение средней линии. Решение: 1. Определим основания трапеции. Проверим векторы KL и NM: \( \vec{KL} = (-5 - (-3); 6 - 0) = (-2; 6) \) \( \vec{NM} = (1 - (-1); 3 - (-1)) = (2; 4) \) — не параллельны. Проверим векторы LM и KN: \( \vec{LM} = (1 - (-5); 3 - 6) = (6; -3) \) \( \vec{KN} = (-1 - (-3); -1 - 0) = (2; -1) \) Так как \( \vec{LM} = 3 \cdot \vec{KN} \), то LM и KN — основания. 2. Средняя линия проходит через середины боковых сторон KL и MN. Пусть E — середина KL: \[ x_e = \frac{-3 + (-5)}{2} = -4, \quad y_e = \frac{0 + 6}{2} = 3 \Rightarrow E(-4; 3) \] Пусть F — середина MN: \[ x_f = \frac{1 + (-1)}{2} = 0, \quad y_f = \frac{3 + (-1)}{2} = 1 \Rightarrow F(0; 1) \] 3. Составим уравнение прямой EF: \[ \frac{x - (-4)}{0 - (-4)} = \frac{y - 3}{1 - 3} \] \[ \frac{x + 4}{4} = \frac{y - 3}{-2} \] Умножим на 4: \[ x + 4 = -2(y - 3) \] \[ x + 4 = -2y + 6 \] \[ 2y = -x + 2 \] \[ y = -0,5x + 1 \] Ответ: \( y = -0,5x + 1 \).