Решение уравнения x(x^2 - 12x + 36) = 12(6 - x)

Решение задания №20 из представленного учебного материала. Задание: Решите уравнение \( x(x^2 - 12x + 36) = 12(6 - x) \). Решение: 1. Заметим, что выражение в скобках в левой части уравнения представляет собой квадрат разности по формуле \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \): \[ x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x - 6)^2 \] 2. Перепишем уравнение с учетом этого преобразования: \[ x(x - 6)^2 = 12(6 - x) \] 3. Выражение в правой части \( (6 - x) \) можно представить как \( -(x - 6) \). Тогда уравнение примет вид: \[ x(x - 6)^2 = -12(x - 6) \] 4. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: \[ x(x - 6)^2 + 12(x - 6) = 0 \] 5. Вынесем общий множитель \( (x - 6) \) за скобки: \[ (x - 6) \cdot (x(x - 6) + 12) = 0 \] 6. Раскроем внутренние скобки: \[ (x - 6) \cdot (x^2 - 6x + 12) = 0 \] 7. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: а) \( x - 6 = 0 \) \[ x_1 = 6 \] б) \( x^2 - 6x + 12 = 0 \) Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12 \] Так как \( D < 0 \), данное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: \( 6 \).