Решение задачи: Геометрия 9 класс, Параллелограмм, Векторы

Геометрия 9 класс. Самостоятельная работа. Вариант 4. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(DF : FB = 2 : 1\). \(BN : NC = 1 : 4\). \(M\) — середина \(CD\). \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\). Выразить векторы через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Решение: 1) Выразим вектор \(\vec{DF}\). По правилу вычитания векторов: \[\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\] Так как \(DF : FB = 2 : 1\), то отрезок \(DB\) делится на \(2 + 1 = 3\) части. Вектор \(\vec{DF}\) составляет \(\frac{2}{3}\) от вектора \(\vec{DB}\). \[\vec{DB} = -\vec{BD} = \vec{a} - \vec{b}\] \[\vec{DF} = \frac{2}{3} \vec{DB} = \frac{2}{3}(\vec{a} - \vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}\] 2) Выразим вектор \(\vec{AM}\). По правилу сложения векторов: \[\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}\] Так как \(M\) — середина \(CD\), а \(\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{a}\), то: \[\vec{DM} = \frac{1}{2} \vec{DC} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}\] \[\vec{AM} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\] 3) Выразим вектор \(\vec{AN}\). По правилу сложения: \[\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}\] Так как \(BN : NC = 1 : 4\), то \(BN\) составляет \(\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}\) от стороны \(BC\). Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\). \[\vec{BN} = \frac{1}{5} \vec{BC} = \frac{1}{5}\vec{b}\] \[\vec{AN} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\] 4) Выразим вектор \(\vec{MF}\). Используем правило: \(\vec{MF} = \vec{AF} - \vec{AM}\). Сначала найдем \(\vec{AF}\): \[\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF} = \vec{b} + (\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\] Теперь вычтем \(\vec{AM}\): \[\vec{MF} = (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) - (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{1}{3} - 1)\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}\] 5) Выразим вектор \(\vec{NF}\). \[\vec{NF} = \vec{AF} - \vec{AN}\] \[\vec{NF} = (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) - (\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = (\frac{2}{3} - 1)\vec{a} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{15}\vec{b}\] 6) Выразим вектор \(\vec{MN}\). \[\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}\] \[\vec{MN} = (\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = (1 - \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{1}{5} - 1)\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b}\] Ответ: \(\vec{DF} = \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}\) \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\) \(\vec{AN} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\) \(\vec{MF} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}\) \(\vec{NF} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{15}\vec{b}\) \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b}\)