Решение задачи: найти AH в прямоугольном треугольнике

Ниже представлено решение задач из варианта 7, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: Треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CH \perp AB\), \(AC = 28\), \(\text{tg } A = \frac{20}{3\sqrt{10}}\). Найти: \(AH\). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике \(ACH\) (\(\angle H = 90^\circ\)) по определению тангенса: \[ \text{tg } A = \frac{CH}{AH} \implies CH = AH \cdot \text{tg } A \] 2) По теореме Пифагора для треугольника \(ACH\): \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Подставим выражение для \(CH\): \[ AC^2 = AH^2 + (AH \cdot \text{tg } A)^2 = AH^2 (1 + \text{tg}^2 A) \] 3) Используем тригонометрическое тождество \(1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}\): \[ AC^2 = \frac{AH^2}{\cos^2 A} \implies AH = AC \cdot \cos A \] 4) Найдем \(\cos A\) через \(\text{tg } A\): \[ \cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + \left(\frac{20}{3\sqrt{10}}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{400}{9 \cdot 10}} = \frac{1}{1 + \frac{40}{9}} = \frac{1}{\frac{49}{9}} = \frac{9}{49} \] \[ \cos A = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7} \] 5) Вычисляем \(AH\): \[ AH = 28 \cdot \frac{3}{7} = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: 12. Задача 2 Дано: Треугольник равнобедренный, \(\angle C = 150^\circ\), \(S = 729\). Найти: боковую сторону \(a\). Решение: Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 150^\circ \] Так как \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), получаем: \[ 729 = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ 729 = \frac{a^2}{4} \] \[ a^2 = 729 \cdot 4 \] \[ a = \sqrt{729} \cdot \sqrt{4} = 27 \cdot 2 = 54 \] Ответ: 54. Задача 3 Дано: \(\angle B = 13^\circ\), \(\angle C = 36^\circ\), \(AD\) — биссектриса, \(AE = AC\). Найти: \(\angle BDE\). Решение: 1) Найдем \(\angle A\) треугольника \(ABC\): \[ \angle A = 180^\circ - (13^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 49^\circ = 131^\circ \] 2) Так как \(AD\) — биссектриса: \[ \angle CAD = \angle EAD = \frac{131^\circ}{2} = 65,5^\circ \] 3) Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(AED\). У них: \(AC = AE\) (по условию), \(AD\) — общая сторона, \(\angle CAD = \angle EAD\) (так как \(AD\) — биссектриса). Следовательно, \(\triangle ACD = \triangle AED\) по двум сторонам и углу между ними. 4) Из равенства треугольников следует, что \(\angle ACD = \angle AED = 36^\circ\). 5) В треугольнике \(BDE\) угол \(\angle AED\) является внешним для угла \(\angle BED\). Но проще рассмотреть смежный угол: \(\angle BED = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\). 6) Сумма углов в \(\triangle BDE\): \[ \angle BDE = 180^\circ - \angle B - \angle BED = 180^\circ - 13^\circ - 144^\circ = 23^\circ \] Ответ: 23. Задача 4 Дано: Ромб, \(d_1 : d_2 = 1 : 9\), \(P = 164\). Найти: высоту \(h\). Решение: 1) Сторона ромба \(a = P / 4 = 164 / 4 = 41\). 2) Пусть половины диагоналей \(x\) и \(9x\). По теореме Пифагора для четверти ромба: \[ x^2 + (9x)^2 = a^2 \implies x^2 + 81x^2 = 41^2 \implies 82x^2 = 1681 \] \[ x^2 = \frac{1681}{82} \] 3) Площадь ромба: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} (2x)(18x) = 18x^2 = 18 \cdot \frac{1681}{82} = \frac{9 \cdot 1681}{41} = 9 \cdot 41 = 369 \] 4) Также \(S = a \cdot h\): \[ 369 = 41 \cdot h \implies h = \frac{369}{41} = 9 \] Ответ: 9. Задача 5 Дано: Трапеция, основания \(a = 46\), \(b = 5\). Найти: отрезок \(MN\), соединяющий середины диагоналей. Решение: Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований: \[ MN = \frac{a - b}{2} \] \[ MN = \frac{46 - 5}{2} = \frac{41}{2} = 20,5 \] Ответ: 20,5.