Решение задачи по геометрии: Найти хорду AB и угол между касательной и хордой

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для записи в тетрадь. Задача 6. Дано: Угол \( \angle C = 120^\circ \) — вписанный. Радиус окружности \( R = 35\sqrt{3} \). Найти: хорду \( AB \). Решение: По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность: \[ \frac{AB}{\sin \angle C} = 2R \] Отсюда выражаем хорду \( AB \): \[ AB = 2R \cdot \sin 120^\circ \] Используем формулу приведения \( \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляем значения: \[ AB = 2 \cdot 35\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 35 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 35 \cdot 3 = 105 \] Ответ: 105. Задача 7. Дано: Дуга \( \cup AB = 8^\circ \). \( BC \) — касательная. Найти: \( \angle ABC \). Решение: Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, которую эта хорда стягивает. \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB \] \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 8^\circ = 4^\circ \] Ответ: 4. Задача 8. Дано: Сторона ромба \( a = 64 \). Острый угол \( \alpha = 30^\circ \). Найти: радиус вписанной окружности \( r \). Решение: 1. Найдем высоту ромба \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, стороной и острым углом: \[ h = a \cdot \sin 30^\circ = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32 \] 2. Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте. Следовательно, радиус равен половине высоты: \[ r = \frac{h}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] Ответ: 16. Задача 9. Дано: Треугольник \( ABC \), \( \angle C = 90^\circ \). \( AC = 35 \), \( BC = 5\sqrt{15} \). Найти: радиус описанной окружности \( R \). Решение: 1. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы \( AB \). 2. Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \] \[ AB = \sqrt{35^2 + (5\sqrt{15})^2} = \sqrt{1225 + 25 \cdot 15} = \sqrt{1225 + 375} = \sqrt{1600} = 40 \] 3. Находим радиус: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] Ответ: 20.