Решение задач по физике: изотермический процесс и давление газа

Решение задач по физике. Задача 1. Дано: \(V_1 = 6\) л \(T = const\) \(P_2 = 3P_1\) Найти: \(\Delta V\) — ? Решение: Для изотермического процесса справедливо уравнение Бойля-Мариотта: \[P_1 V_1 = P_2 V_2\] Выразим конечный объем \(V_2\): \[V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{P_1 \cdot 6}{3P_1} = 2 \text{ л}\] Найдем, на сколько уменьшился объем: \[\Delta V = V_1 - V_2 = 6 - 2 = 4 \text{ л}\] Ответ: объем уменьшился на 4 л. Задача 2. Дано: \(S = 10 \text{ см}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2\) \(m = 5 \text{ кг}\) \(P_0 = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}\) \(h_1 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) \(a = 2 \text{ м/с}^2\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) \(T = const\) Найти: \(h_2\) — ? Решение: Давление газа под поршнем в покое: \[P_1 = P_0 + \frac{mg}{S}\] Давление газа при движении лифта вверх с ускорением: \[P_2 = P_0 + \frac{m(g+a)}{S}\] Так как процесс изотермический (\(PV = const\)) и \(V = Sh\): \[P_1 S h_1 = P_2 S h_2 \Rightarrow P_1 h_1 = P_2 h_2\] \[h_2 = h_1 \cdot \frac{P_1}{P_2} = h_1 \cdot \frac{P_0 + \frac{mg}{S}}{P_0 + \frac{m(g+a)}{S}}\] Подставим значения: \[P_1 = 10^5 + \frac{5 \cdot 10}{10^{-3}} = 100000 + 50000 = 150000 \text{ Па}\] \[P_2 = 10^5 + \frac{5 \cdot (10+2)}{10^{-3}} = 100000 + 60000 = 160000 \text{ Па}\] \[h_2 = 20 \cdot \frac{150000}{160000} = 20 \cdot \frac{15}{16} = 18,75 \text{ см}\] Ответ: расстояние станет 18,75 см. Задача 3. Дано: \(P = const\) \(\Delta V = 150 \text{ дм}^3\) \(T_2 = 2T_1\) Найти: \(V_1\) — ? Решение: Для изобарного процесса (закон Гей-Люссака): \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\] Учитывая, что \(V_2 = V_1 + \Delta V\) и \(T_2 = 2T_1\): \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_1 + 150}{2T_1}\] \[2V_1 = V_1 + 150\] \[V_1 = 150 \text{ дм}^3\] Ответ: первоначальный объем был 150 дм\(^3\). Задача 4. Дано: \(\nu = 0,09 \text{ моль}\) \(m = 5 \text{ кг}\) \(P_0 = 10^5 \text{ Па}\) \(\Delta h = 0,04 \text{ м}\) \(\Delta T = 16 \text{ К}\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\) Найти: \(S\) — ? Решение: Давление газа постоянно: \(P = P_0 + \frac{mg}{S}\). Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для двух состояний и вычтем их: \[P \Delta V = \nu R \Delta T\] Так как \(\Delta V = S \cdot \Delta h\): \[(P_0 + \frac{mg}{S}) \cdot S \cdot \Delta h = \nu R \Delta T\] \[(P_0 S + mg) \Delta h = \nu R \Delta T\] \[P_0 S + mg = \frac{\nu R \Delta T}{\Delta h}\] \[P_0 S = \frac{\nu R \Delta T}{\Delta h} - mg\] \[S = \frac{\nu R \Delta T}{P_0 \Delta h} - \frac{mg}{P_0}\] Подставим числа: \[S = \frac{0,09 \cdot 8,31 \cdot 16}{10^5 \cdot 0,04} - \frac{5 \cdot 10}{10^5} = \frac{11,9664}{4000} - 0,0005 = 0,0029916 - 0,0005 \approx 0,0025 \text{ м}^2\] \(S \approx 25 \text{ см}^2\). Ответ: площадь поршня 25 см\(^2\). Задача 5. Дано: \(V = const\) \(\Delta T = 240 \text{ К}\) \(P_2 = 1,8 P_1\) Найти: \(T_1\) — ? Решение: Для изохорного процесса (закон Шарля): \[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\] Так как газ нагревают, \(T_2 = T_1 + \Delta T\): \[\frac{P_1}{T_1} = \frac{1,8 P_1}{T_1 + 240}\] \[T_1 + 240 = 1,8 T_1\] \[0,8 T_1 = 240\] \[T_1 = \frac{240}{0,8} = 300 \text{ К}\] Ответ: начальная температура 300 К.