Решение задачи 1.15: Найти производные функций

Задание 1.15. Найти производные функций. а) \( y = (x^2 - 7x + 5) \cdot \text{ctg } x \) Для решения используем формулу производной произведения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = x^2 - 7x + 5 \), тогда \( u' = 2x - 7 \). Пусть \( v = \text{ctg } x \), тогда \( v' = -\frac{1}{\sin^2 x} \). \[ y' = (x^2 - 7x + 5)' \cdot \text{ctg } x + (x^2 - 7x + 5) \cdot (\text{ctg } x)' \] \[ y' = (2x - 7) \cdot \text{ctg } x + (x^2 - 7x + 5) \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) \] \[ y' = (2x - 7) \text{ctg } x - \frac{x^2 - 7x + 5}{\sin^2 x} \] б) \( y = \frac{\arcsin x}{\log_3 x} \) Для решения используем формулу производной частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Пусть \( u = \arcsin x \), тогда \( u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). Пусть \( v = \log_3 x \), тогда \( v' = \frac{1}{x \ln 3} \). \[ y' = \frac{(\arcsin x)' \cdot \log_3 x - \arcsin x \cdot (\log_3 x)'}{(\log_3 x)^2} \] \[ y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \log_3 x - \arcsin x \cdot \frac{1}{x \ln 3}}{\log_3^2 x} \] \[ y' = \frac{x \ln 3 \cdot \log_3 x - \sqrt{1 - x^2} \cdot \arcsin x}{x \ln 3 \cdot \sqrt{1 - x^2} \cdot \log_3^2 x} \] в) \( y = \sin(e^{4\sqrt{x}}) \) Для решения используем правило дифференцирования сложной функции: \( (f(g(h(x))))' = f'(g) \cdot g'(h) \cdot h'(x) \). 1. Внешняя функция: \( \sin(u) \), её производная \( \cos(u) \). 2. Промежуточная функция: \( e^w \), её производная \( e^w \). 3. Внутренняя функция: \( 4\sqrt{x} \), её производная \( 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \). \[ y' = \cos(e^{4\sqrt{x}}) \cdot (e^{4\sqrt{x}})' \] \[ y' = \cos(e^{4\sqrt{x}}) \cdot e^{4\sqrt{x}} \cdot (4\sqrt{x})' \] \[ y' = \cos(e^{4\sqrt{x}}) \cdot e^{4\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{2 e^{4\sqrt{x}} \cos(e^{4\sqrt{x}})}{\sqrt{x}} \]