Решение задачи 5.15: Нахождение частных производных

Задание 5.15. Найти частные производные функции двух переменных. \[ z = \frac{\cos y}{x^2} - \frac{\sin x}{y} \] Для нахождения частных производных будем поочередно считать одну из переменных константой (постоянной величиной). 1) Находим частную производную по \( x \) (считаем \( y \) константой): При дифференцировании по \( x \), выражение \( \cos y \) и знаменатель \( y \) во второй дроби рассматриваются как числа. \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \left( \cos y \cdot x^{-2} - \frac{1}{y} \cdot \sin x \right)'_x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot (-2x^{-3}) - \frac{1}{y} \cdot \cos x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2 \cos y}{x^3} - \frac{\cos x}{y} \] 2) Находим частную производную по \( y \) (считаем \( x \) константой): При дифференцировании по \( y \), выражение \( \sin x \) и знаменатель \( x^2 \) в первой дроби рассматриваются как числа. \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \left( \frac{1}{x^2} \cdot \cos y - \sin x \cdot y^{-1} \right)'_y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2} \cdot (-\sin y) - \sin x \cdot (-1 \cdot y^{-2}) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\sin y}{x^2} + \frac{\sin x}{y^2} \] Ответ: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2 \cos y}{x^3} - \frac{\cos x}{y} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\sin y}{x^2} + \frac{\sin x}{y^2} \]