Решение задачи: Нахождение частных производных функции z

На фотографии представлена запись функции \( z \), преобразованная в удобный для дифференцирования вид (с использованием отрицательных степеней). Запишем это выражение аккуратно: \[ z = \cos y \cdot x^{-2} - \sin x \cdot y^{-1} \] Это та же самая функция, что и в предыдущем задании (5.15), только записанная в строчку. Если вам нужно найти её частные производные, используя именно такой вид, решение будет выглядеть следующим образом: 1) Частная производная по \( x \) (считаем \( y \) константой): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot (-2) \cdot x^{-3} - \cos x \cdot y^{-1} \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2x^{-3} \cos y - y^{-1} \cos x \] 2) Частная производная по \( y \) (считаем \( x \) константой): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = (-\sin y) \cdot x^{-2} - \sin x \cdot (-1) \cdot y^{-2} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -x^{-2} \sin y + y^{-2} \sin x \] Эти результаты полностью совпадают с предыдущим решением, просто записаны через степени. В тетрадь можно переписать либо этот вариант, либо вариант с дробями из предыдущего ответа.