Решение дифференциального уравнения y' = cos(2x) * y * e^(-5x)

Решение дифференциального уравнения: \[ y' = \cos(2x) \cdot y \cdot e^{-5x} \] Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. 1. Представим производную \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \cos(2x) \cdot y \cdot e^{-5x} \] 2. Разделим переменные (перенесем все с \( y \) в левую часть, а с \( x \) в правую): \[ \frac{dy}{y} = \cos(2x) \cdot e^{-5x} dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y} = \int e^{-5x} \cos(2x) dx \] Левая часть берется легко: \[ \ln|y| = \int e^{-5x} \cos(2x) dx + C_1 \] 4. Вычислим интеграл в правой части \( I = \int e^{-5x} \cos(2x) dx \) методом интегрирования по частям дважды или по готовой формуле для интеграла вида \( \int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) \). В нашем случае \( a = -5 \), \( b = 2 \): \[ I = \frac{e^{-5x}}{(-5)^2 + 2^2} (-5 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) \] \[ I = \frac{e^{-5x}}{25 + 4} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x)) \] \[ I = \frac{e^{-5x}}{29} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x)) \] 5. Подставим результат обратно в уравнение: \[ \ln|y| = \frac{e^{-5x}}{29} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x)) + C_1 \] 6. Выразим \( y \), потенцируя обе части: \[ |y| = e^{\frac{e^{-5x}}{29} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x)) + C_1} \] \[ y = \pm e^{C_1} \cdot e^{\frac{e^{-5x}}{29} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x))} \] Обозначим произвольную константу \( \pm e^{C_1} \) как \( C \). Также заметим, что \( y = 0 \) является частным решением. Ответ: \[ y = C \cdot e^{\frac{e^{-5x}}{29} (2 \sin(2x) - 5 \cos(2x))} \]