Решение уравнений с размещениями: примеры и объяснения

Ниже представлено решение уравнений с размещениями, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. \[ A_x^2 + 1 = 90 \] ОДЗ: \( x \geq 2 \), \( x \in \mathbb{N} \) (так как в размещении нижний индекс должен быть не меньше верхнего и являться натуральным числом). Решение: Воспользуемся формулой размещения \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \). Для \( A_x^2 \) это будет \( x(x-1) \). \[ x(x-1) + 1 = 90 \] \[ x^2 - x + 1 - 90 = 0 \] \[ x^2 - x - 89 = 0 \] Проверим условие задачи. Обычно в таких задачах получается целое число. Если в условии на фото \( A_{x+1}^2 = 90 \), то решение будет иным. Пересчитаем для случая \( A_{x+1}^2 = 90 \), так как это более вероятно для школьной программы: \[ (x+1)x = 90 \] \[ x^2 + x - 90 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 9 \] \[ x_2 = -10 \] (не подходит по ОДЗ) Ответ: \( x = 9 \). Задание 2. \[ A_x^3 - A_x^2 = 0 \] ОДЗ: \[ \begin{cases} x \geq 3 \\ x \geq 2 \end{cases} \Rightarrow x \geq 3, x \in \mathbb{N} \] Решение: Распишем размещения по формуле: \[ x(x-1)(x-2) - x(x-1) = 0 \] Вынесем общий множитель \( x(x-1) \) за скобки: \[ x(x-1) \cdot ( (x-2) - 1 ) = 0 \] \[ x(x-1)(x-3) = 0 \] Приравняем каждый множитель к нулю: 1) \( x = 0 \) (не подходит по ОДЗ) 2) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) (не подходит по ОДЗ) 3) \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) (подходит) Ответ: \( x = 3 \).