Решение задачи №4: Треугольник ABC по рисунку 59

Задача №4. Решение треугольника ABC по рисунку 59. Дано: Треугольник ABC. Внешний угол при вершине A равен \( 135^{\circ} \). Внешний угол при вершине C равен \( 75^{\circ} \). Сторона \( AC = 8 \). Найти: Углы \( \angle A, \angle B, \angle C \) и стороны \( AB, BC \). Решение: 1. Найдем внутренние углы треугольника при вершинах A и C, так как они являются смежными с данными внешними углами: \[ \angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \] \[ \angle C = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \] 2. Найдем третий угол треугольника (сумму углов треугольника принимаем за \( 180^{\circ} \)): \[ \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \] 3. Для нахождения сторон AB и BC воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} \] 4. Найдем сторону BC: \[ BC = \frac{AC \cdot \sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{8 \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \] Подставим значения синусов \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \): \[ BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2} \approx 11,3 \] 5. Найдем сторону AB: \[ AB = \frac{AC \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B} = \frac{8 \cdot \sin 105^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \] Вычислим \( \sin 105^{\circ} \) через формулу синуса суммы \( \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \): \[ \sin 105^{\circ} = \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Тогда: \[ AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 4 \cdot (2,45 + 1,41) \approx 15,4 \] Ответ: \[ \angle A = 45^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, \angle C = 105^{\circ} \] \[ BC = 8\sqrt{2}, AB = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]