Решение задач 707 (а, г) и 717

Решение задач из учебника. № 707. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} \] Решение: Воспользуемся методом сложения. Сложим первое и второе уравнения системы: \[ (2x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 9 + 3 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \] Теперь подставим полученные значения \( x^2 \) во второе уравнение системы \( x^2 - y^2 = 3 \): \[ 4 - y^2 = 3 \] \[ y^2 = 4 - 3 \] \[ y^2 = 1 \] \[ y_1 = 1, \quad y_2 = -1 \] Так как \( x^2 \) всегда дает 4, а \( y^2 \) всегда дает 1, мы получаем четыре пары решений: Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1). г) \[ \begin{cases} x - y - 4 = 0 \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases} \] Решение: Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим \( x \): \[ x = y + 4 \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 4)^2 + y^2 = 8,5 \] \[ y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8,5 \] \[ 2y^2 + 8y + 16 - 8,5 = 0 \] \[ 2y^2 + 8y + 7,5 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2 для удобства: \[ y^2 + 4y + 3,75 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3,75 = 16 - 15 = 1 \] \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ y_1 = \frac{-4 + 1}{2} = -1,5 \] \[ y_2 = \frac{-4 - 1}{2} = -2,5 \] Найдем соответствующие значения \( x \): \[ x_1 = y_1 + 4 = -1,5 + 4 = 2,5 \] \[ x_2 = y_2 + 4 = -2,5 + 4 = 1,5 \] Ответ: (2,5; -1,5), (1,5; -2,5). № 717. Найдите корни уравнения: а) \( 9x^2 - 100 = 0 \) \[ 9x^2 = 100 \] \[ x^2 = \frac{100}{9} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{100}{9}} \] \[ x_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}, \quad x_2 = -3\frac{1}{3} \] Ответ: \( \pm 3\frac{1}{3} \). б) \( 2 = 7c^2 \) \[ c^2 = \frac{2}{7} \] \[ c = \pm \sqrt{\frac{2}{7}} \] Ответ: \( \pm \sqrt{\frac{2}{7}} \). в) \( 9m^2 - 4 = 0 \) \[ 9m^2 = 4 \] \[ m^2 = \frac{4}{9} \] \[ m = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} \] \[ m_1 = \frac{2}{3}, \quad m_2 = -\frac{2}{3} \] Ответ: \( \pm \frac{2}{3} \). г) \( -0,8y^2 + 3y = 0 \) Вынесем \( y \) за скобки: \[ y(-0,8y + 3) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( y_1 = 0 \) 2) \( -0,8y + 3 = 0 \) \[ 0,8y = 3 \] \[ y = \frac{3}{0,8} = \frac{30}{8} = 3,75 \] Ответ: 0; 3,75.