Решение неравенства (x+3)(x-5)(x-7) < 0 методом интервалов

Хорошо, давайте решим эти неравенства. Будем использовать метод интервалов.

Решение неравенства 1

Неравенство: \( (x+3)(x-5)(x-7) < 0 \) 1. Найдем корни каждого множителя: \( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) \( x-5 = 0 \Rightarrow x = 5 \) \( x-7 = 0 \Rightarrow x = 7 \) 2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (меньше 0), точки будут выколотыми (не входят в решение).

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробное значение из каждого интервала: * Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмем \( x = -4 \). \( (-4+3)(-4-5)(-4-7) = (-1)(-9)(-11) = -99 < 0 \). Знак: минус. * Интервал \( (-3; 5) \): Возьмем \( x = 0 \). \( (0+3)(0-5)(0-7) = (3)(-5)(-7) = 105 > 0 \). Знак: плюс. * Интервал \( (5; 7) \): Возьмем \( x = 6 \). \( (6+3)(6-5)(6-7) = (9)(1)(-1) = -9 < 0 \). Знак: минус. * Интервал \( (7; +\infty) \): Возьмем \( x = 8 \). \( (8+3)(8-5)(8-7) = (11)(3)(1) = 33 > 0 \). Знак: плюс.

4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше 0 (отрицательно). Это интервалы \( (-\infty; -3) \) и \( (5; 7) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (5; 7) \)

Решение неравенства 2

Неравенство: \( \frac{x-3}{x+2} \ge 0 \) 1. Найдем корни числителя и знаменателя: * Числитель: \( x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) * Знаменатель: \( x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) 2. Отметим эти точки на числовой прямой. * Корень числителя \( x=3 \) будет закрашенным, так как неравенство нестрогое (больше или равно 0). * Корень знаменателя \( x=-2 \) всегда будет выколотым, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. Определим знак выражения на каждом интервале: * Интервал \( (-\infty; -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( \frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 \). Знак: плюс. * Интервал \( (-2; 3) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0-3}{0+2} = \frac{-3}{2} = -1.5 < 0 \). Знак: минус. * Интервал \( [3; +\infty) \): Возьмем \( x = 4 \). \( \frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} > 0 \). Знак: плюс.

4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0 (положительно или равно 0). Это интервалы \( (-\infty; -2) \) и \( [3; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [3; +\infty) \)

Решение неравенства 3

Неравенство: \( \frac{(x-1)(x+4)}{3-x} \le 0 \) 1. Найдем корни числителя и знаменателя: * Числитель: \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) \( x+4 = 0 \Rightarrow x = -4 \) * Знаменатель: \( 3-x = 0 \Rightarrow x = 3 \) 2. Отметим эти точки на числовой прямой. * Корни числителя \( x=1 \) и \( x=-4 \) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. * Корень знаменателя \( x=3 \) всегда будет выколотым.

3. Определим знак выражения на каждом интервале: * Интервал \( (-\infty; -4] \): Возьмем \( x = -5 \). \( \frac{(-5-1)(-5+4)}{3-(-5)} = \frac{(-6)(-1)}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} > 0 \). Знак: плюс. * Интервал \( [-4; 1] \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{(0-1)(0+4)}{3-0} = \frac{(-1)(4)}{3} = -\frac{4}{3} < 0 \). Знак: минус. * Интервал \( [1; 3) \): Возьмем \( x = 2 \). \( \frac{(2-1)(2+4)}{3-2} = \frac{(1)(6)}{1} = 6 > 0 \). Знак: плюс. * Интервал \( (3; +\infty) \): Возьмем \( x = 4 \). \( \frac{(4-1)(4+4)}{3-4} = \frac{(3)(8)}{-1} = \frac{24}{-1} = -24 < 0 \). Знак: минус.

4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно 0 (отрицательно или равно 0). Это интервалы \( [-4; 1] \) и \( (3; +\infty) \). Ответ: \( x \in [-4; 1] \cup (3; +\infty) \)

Решение неравенства 4

Неравенство: \( x^2 (5x-4)(x+7) < 0 \) 1. Найдем корни каждого множителя: * \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \) (корень четной кратности) * \( 5x-4 = 0 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5} \) * \( x+7 = 0 \Rightarrow x = -7 \) 2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Обратите внимание на корень \( x=0 \). Так как он получен из \( x^2 \), это корень четной кратности. При переходе через такой корень знак выражения не меняется.

3. Определим знак выражения на каждом интервале: * Интервал \( (-\infty; -7) \): Возьмем \( x = -8 \). \( (-8)^2 (5(-8)-4)(-8+7) = 64 (-40-4)(-1) = 64 (-44)(-1) = 64 \cdot 44 > 0 \). Знак: плюс. * Интервал \( (-7; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( (-1)^2 (5(-1)-4)(-1+7) = 1 (-5-4)(6) = 1 (-9)(6) = -54 < 0 \). Знак: минус. * Интервал \( (0; \frac{4}{5}) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( (0.5)^2 (5(0.5)-4)(0.5+7) = 0.25 (2.5-4)(7.5) = 0.25 (-1.5)(7.5) < 0 \). Знак: минус. (Знак не изменился, как и ожидалось, так как \( x=0 \) - корень четной кратности). * Интервал \( (\frac{4}{5}; +\infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( (1)^2 (5(1)-4)(1+7) = 1 (5-4)(8) = 1 (1)(8) = 8 > 0 \). Знак: плюс.

4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше 0 (отрицательно). Это интервалы \( (-7; 0) \) и \( (0; \frac{4}{5}) \). Ответ: \( x \in (-7; 0) \cup (0; \frac{4}{5}) \)