Решение задачи №12 по алгебре 8 класс

Задача №12 Пусть \( x \) — количество деталей, которые изготавливал первый рабочий в день. По условию \( x > 40 \). Пусть \( S \) — общее количество деталей в одном заказе. Тогда время, затраченное первым рабочим на выполнение всего заказа, равно: \[ t_1 = \frac{S}{x} \] Второй рабочий выполнял заказ в два этапа: 1. Первую половину заказа \( \frac{S}{2} \) он делал со скоростью \( x - 6 \) деталей в день. Время на этом этапе: \[ t_{2.1} = \frac{S}{2(x - 6)} \] 2. Вторую половину заказа \( \frac{S}{2} \) он делал со скоростью 56 деталей в день. Время на этом этапе: \[ t_{2.2} = \frac{S}{2 \cdot 56} = \frac{S}{112} \] Общее время второго рабочего: \[ t_2 = \frac{S}{2(x - 6)} + \frac{S}{112} \] Так как рабочие закончили работу одновременно, то \( t_1 = t_2 \): \[ \frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 6)} + \frac{S}{112} \] Разделим обе части уравнения на \( S \) (так как \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 6)} + \frac{1}{112} \] Приведем дроби к общему знаменателю. Умножим все уравнение на \( 112x(x - 6) \): \[ 112(x - 6) = 56x + x(x - 6) \] \[ 112x - 672 = 56x + x^2 - 6x \] \[ 112x - 672 = 50x + x^2 \] Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 - 62x + 672 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 672 = 3844 - 2688 = 1156 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \] Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{62 + 34}{2} = \frac{96}{2} = 48 \] \[ x_2 = \frac{62 - 34}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] По условию задачи количество деталей в день, которое делал первый рабочий, больше 40 (\( x > 40 \)). Следовательно, корень \( x = 14 \) нам не подходит. Подходит корень \( x = 48 \). Ответ: 48 деталей в день.