Решение показательного уравнения 3^((x+2)/(4-x)) = 7 * 3^((x+1)/(4-x)) + 6

Решение показательного уравнения: \[ 3^{\frac{x+2}{4-x}} - 7 \cdot 3^{\frac{x+1}{4-x}} - 6 = 0 \] 1. Преобразуем показатели степеней так, чтобы выделить общую часть. Заметим, что: \[ \frac{x+2}{4-x} = \frac{x+1+1}{4-x} = \frac{x+1}{4-x} + \frac{1}{4-x} \] Однако в данном случае удобнее воспользоваться свойствами степеней напрямую. Распишем первое слагаемое: \[ 3^{\frac{x+2}{4-x}} = 3^{\frac{x+1}{4-x} + \frac{1}{4-x}} = 3^{\frac{x+1}{4-x}} \cdot 3^{\frac{1}{4-x}} \] 2. Перепишем уравнение: \[ 3^{\frac{x+1}{4-x}} \cdot 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \cdot 3^{\frac{x+1}{4-x}} - 6 = 0 \] 3. Вынесем общий множитель \( 3^{\frac{x+1}{4-x}} \) за скобки: \[ 3^{\frac{x+1}{4-x}} \left( 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \right) = 6 \] 4. Чтобы решить уравнение аналитически без логарифмов, попробуем привести обе части к одинаковому основанию. Заметим, что число 6 можно представить как \( 3 \cdot 2 \). Также заметим структуру дробей в показателях. Пусть \( \frac{1}{4-x} = a \). Тогда \( \frac{x+1}{4-x} = \frac{x-4+5}{4-x} = \frac{-(4-x)+5}{4-x} = -1 + 5a \). Подставим это в уравнение: \[ 3^{-1 + 5a} \cdot (3^a - 7) = 6 \] \[ \frac{3^{5a}}{3} \cdot (3^a - 7) = 6 \] \[ 3^{5a} \cdot (3^a - 7) = 18 \] 5. Подберем значение \( 3^a \). Если \( 3^a = 9 \), то \( 3^{5a} \) будет слишком большим. Если \( 3^a = 3 \), то: \[ 3^1 = 3 \implies a = 1 \] Проверим \( a = 1 \): \[ 3^{5 \cdot 1} \cdot (3^1 - 7) = 243 \cdot (-4) \neq 18 \] Попробуем другое значение. Если \( 3^a - 7 = 2 \), то \( 3^a = 9 \), значит \( a = 2 \). Проверим \( a = 2 \): \[ 3^{5 \cdot 2} \cdot (9 - 7) = 3^{10} \cdot 2 \neq 18 \] 6. Вернемся к исходному виду и попробуем упростить показатель \( \frac{x+1}{4-x} \) иначе: \[ \frac{x+1}{4-x} = \frac{-(4-x)+5}{4-x} = -1 + \frac{5}{4-x} \] Уравнение принимает вид: \[ 3^{\frac{x+2}{4-x}} - 7 \cdot 3^{-1 + \frac{5}{4-x}} - 6 = 0 \] Заметим, что \( \frac{x+2}{4-x} = \frac{-(4-x)+6}{4-x} = -1 + \frac{6}{4-x} \). Пусть \( t = 3^{\frac{1}{4-x}} \). Тогда уравнение: \[ 3^{-1} \cdot t^6 - 7 \cdot 3^{-1} \cdot t^5 - 6 = 0 \] Умножим всё на 3: \[ t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \] 7. Ищем целые корни среди делителей числа 18. Проверим \( t = 1, 2, 3 \). Если \( t = 1 \): \( 1 - 7 - 18 \neq 0 \). Если \( t = 2 \): \( 64 - 7 \cdot 32 - 18 \neq 0 \). Если \( t = 3 \): \( 3^6 - 7 \cdot 3^5 - 18 = 729 - 7 \cdot 243 - 18 = 729 - 1701 - 18 \neq 0 \). Проверим отрицательные значения. Если \( t \) — это степень тройки, то \( t \) должно быть положительным. 8. Перепроверим условие. Часто в таких задачах \( x \) подбирается легко. Попробуем \( x = 3 \): \[ 3^{\frac{3+2}{4-3}} - 7 \cdot 3^{\frac{3+1}{4-3}} - 6 = 3^5 - 7 \cdot 3^4 - 6 = 243 - 7 \cdot 81 - 6 = 243 - 567 - 6 \neq 0 \] Попробуем \( x = 2 \): \[ 3^{\frac{4}{2}} - 7 \cdot 3^{\frac{3}{2}} - 6 = 9 - 7\sqrt{27} - 6 \neq 0 \] Попробуем \( x = 5 \): \[ 3^{\frac{7}{-1}} - 7 \cdot 3^{\frac{6}{-1}} - 6 = \frac{1}{3^7} - \frac{7}{3^6} - 6 \neq 0 \] 9. Если в уравнении \( t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \) нет простых корней, возможно в условии опечатка и вместо 6 должно быть другое число, либо подразумевается графический метод. Однако, если решать строго аналитически, корень \( t \) находится между 7 и 8. Но так как \( t = 3^{\frac{1}{4-x}} \), то при \( x \to 4 \) значение \( t \) может быть любым. Если предположить, что в первом слагаемом показатель \( \frac{x+1}{4-x} \), а во втором что-то иное, решение было бы проще. Но исходя из картинки: Пусть \( y = \frac{x+1}{4-x} \). Тогда \( \frac{x+2}{4-x} = y + \frac{1}{4-x} \). Уравнение: \( 3^y (3^{\frac{1}{4-x}} - 7) = 6 \). При \( x = 3.5 \): \( \frac{1}{4-3.5} = 2 \). Тогда \( 3^{\frac{1}{4-x}} = 3^2 = 9 \). Подставим \( x = 3.5 \) в \( y \): \( y = \frac{3.5+1}{4-3.5} = \frac{4.5}{0.5} = 9 \). Проверка: \( 3^9 \cdot (9 - 7) = 3^9 \cdot 2 \neq 6 \). При \( x = 3 \): \( \frac{1}{4-3} = 1 \). Тогда \( 3^1 - 7 = -4 \). При \( x = 4.5 \): \( \frac{1}{4-4.5} = -2 \). Тогда \( 3^{-2} - 7 = \frac{1}{9} - 7 = -6.88 \). Единственный аналитический путь без логарифмов в школьной программе обычно подразумевает замену, приводящую к квадратному или простому степенному уравнению. Если корень не подбирается среди целых или простых дробей, задача может содержать опечатку в коэффициентах. Ответ: Для данного вида уравнения аналитическое решение без использования логарифмов затруднено, так как оно сводится к уравнению шестой степени \( t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \), не имеющему рациональных корней.