Решение задачи с логарифмами для 10 класса

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения новой переменной и логарифмированием. \[ 3^{\frac{x+2}{4-x}} - 7 \cdot 3^{\frac{x+1}{4-x}} - 6 = 0 \] 1. Преобразуем показатели степеней. Заметим, что: \[ \frac{x+2}{4-x} = \frac{(x+1)+1}{4-x} = \frac{x+1}{4-x} + \frac{1}{4-x} \] 2. Используем свойство степени \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \): \[ 3^{\frac{x+1}{4-x}} \cdot 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \cdot 3^{\frac{x+1}{4-x}} - 6 = 0 \] 3. Вынесем общий множитель \( 3^{\frac{x+1}{4-x}} \) за скобки: \[ 3^{\frac{x+1}{4-x}} \left( 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \right) = 6 \] 4. Представим \( \frac{x+1}{4-x} \) иначе, чтобы упростить выражение: \[ \frac{x+1}{4-x} = \frac{-(4-x)+5}{4-x} = -1 + \frac{5}{4-x} \] Подставим это в уравнение: \[ 3^{-1 + \frac{5}{4-x}} \cdot \left( 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \right) = 6 \] \[ \frac{1}{3} \cdot 3^{\frac{5}{4-x}} \cdot \left( 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \right) = 6 \] \[ 3^{\frac{5}{4-x}} \cdot \left( 3^{\frac{1}{4-x}} - 7 \right) = 18 \] 5. Пусть \( t = 3^{\frac{1}{4-x}} \), где \( t > 0 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^5 \cdot (t - 7) = 18 \] \[ t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \] 6. Аналитически найдем корень уравнения \( f(t) = t^6 - 7t^5 - 18 \). Заметим, что при \( t = 7 \): \( f(7) = 7^6 - 7 \cdot 7^5 - 18 = -18 \). При \( t = 8 \): \( f(8) = 8^6 - 7 \cdot 8^5 - 18 = 8^5(8-7) - 18 = 32768 - 18 = 32750 \). Следовательно, корень \( t \) находится очень близко к 7. Обозначим этот корень как \( t_0 \). 7. Возвращаемся к замене: \[ 3^{\frac{1}{4-x}} = t_0 \] Прологарифмируем обе части по основанию 3: \[ \log_3 \left( 3^{\frac{1}{4-x}} \right) = \log_3 t_0 \] \[ \frac{1}{4-x} = \log_3 t_0 \] 8. Выразим \( x \): \[ 4-x = \frac{1}{\log_3 t_0} \] \[ x = 4 - \frac{1}{\log_3 t_0} \] Так как \( t_0 \) является корнем уравнения \( t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \), точное значение \( x \) зависит от этого корня. Если в условии задачи подразумевались целые числа, то наиболее вероятный корень \( t \approx 7 \), что дает \( x \approx 4 - \log_7 3 \). Ответ: \( x = 4 - \frac{1}{\log_3 t_0} \), где \( t_0 \) — положительный корень уравнения \( t^6 - 7t^5 - 18 = 0 \).