Решение задач: ax-b+bx-a, ax-3bx+ay-3by, y⁵-y³-y²+1

Задание. Разложить на множители выражение \( y^5 - y^3 - y^2 + 1 \). Решение: Для решения данного выражения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: \[ (y^5 - y^3) - (y^2 - 1) \] Обратите внимание, что при заключении последних двух слагаемых в скобки со знаком минус перед ними, знаки внутри скобок изменились на противоположные. Из первой скобки вынесем общий множитель \( y^3 \): \[ y^3(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1) \] Теперь мы видим общий множитель \( (y^2 - 1) \). Вынесем его за скобки: \[ (y^2 - 1)(y^3 - 1) \] Полученное выражение можно разложить дальше, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) и разность кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). Разложим первую скобку: \[ y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) \] Разложим вторую скобку: \[ y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1) \] Соединим всё вместе: \[ (y - 1)(y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1) \] Заметим, что множитель \( (y - 1) \) встречается дважды, поэтому его можно записать в квадрате: \[ (y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1) \] Ответ: \( (y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1) \).