Решение задач по геометрии: уравнение прямой и точка пересечения

Решение задач из первого варианта. Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки \(A(-2; 1)\) и \(B(4; 7)\). Решение: Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \): \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] Подставим координаты точек \(A(-2; 1)\) и \(B(4; 7)\): \[ \frac{x - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{y - 1}{7 - 1} \] \[ \frac{x + 2}{6} = \frac{y - 1}{6} \] Умножим обе части уравнения на 6: \[ x + 2 = y - 1 \] Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой: \[ x - y + 3 = 0 \] Или выразим \(y\) через \(x\): \[ y = x + 3 \] Ответ: \(y = x + 3\). Задача 2. Найти координаты точки пересечения прямых: \[ 2x - 5y = 7 \] \[ -x + 3y = 12 \] Решение: Для нахождения точки пересечения составим и решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x - 5y = 7 \\ -x + 3y = 12 \end{cases} \] Выразим \(x\) из второго уравнения: \[ x = 3y - 12 \] Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ 2(3y - 12) - 5y = 7 \] \[ 6y - 24 - 5y = 7 \] \[ y - 24 = 7 \] \[ y = 7 + 24 \] \[ y = 31 \] Теперь найдем значение \(x\), подставив \(y = 31\) в выражение для \(x\): \[ x = 3 \cdot 31 - 12 \] \[ x = 93 - 12 \] \[ x = 81 \] Точка пересечения имеет координаты \((81; 31)\). Ответ: \((81; 31)\).