Решение задачи: Найдите 20 ctg α, если cos α = -√5/5

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Найдите \( 20 \text{ctg } \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5} \) и \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \). Решение: 1) Из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] Так как \( \alpha \) во II четверти, \( \sin \alpha > 0 \), значит \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \). 2) Найдем \( \text{ctg } \alpha \): \[ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\sqrt{5}/5}{2/\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{5}{10} = -0,5 \] 3) Вычислим искомое значение: \[ 20 \text{ctg } \alpha = 20 \cdot (-0,5) = -10 \] Ответ: -10. Задача 5. Найдите значение выражения \( 62\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \). Решение: Используем формулу синуса двойного угла \( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \): \[ 62\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = 31\sqrt{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = 31\sqrt{2} \sin (2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 31\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} \] Так как \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ 31\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{31 \cdot 2}{2} = 31 \] Ответ: 31. Задача 7. Найдите значение выражения \( 84\sqrt{2} \cos^2 \frac{\pi}{8} - 84\sqrt{2} \sin^2 \frac{\pi}{8} \). Решение: Вынесем общий множитель и используем формулу косинуса двойного угла \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \): \[ 84\sqrt{2} (\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}) = 84\sqrt{2} \cos (2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 84\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} \] Так как \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ 84\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{84 \cdot 2}{2} = 84 \] Ответ: 84. Задача 10. Найдите \( 41 \cos 2\alpha \), если \( \sin \alpha = -0,6 \). Решение: Используем формулу косинуса двойного угла через синус: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \). \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (-0,6)^2 = 1 - 2 \cdot 0,36 = 1 - 0,72 = 0,28 \] Вычислим искомое значение: \[ 41 \cdot 0,28 = 11,48 \] Ответ: 11,48. Задача 11. Найдите значение выражения \( \frac{60 \sin 18^\circ \cos 18^\circ}{\sin 36^\circ} \). Решение: Применим формулу синуса двойного угла в числителе: \( 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \sin 36^\circ \). \[ \frac{30 \cdot (2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ)}{\sin 36^\circ} = \frac{30 \sin 36^\circ}{\sin 36^\circ} = 30 \] Ответ: 30. Задача 16. Найдите значение выражения \( 12\sqrt{2} \cos^2 (\frac{13\pi}{8}) - \sqrt{72} \). Решение: 1) Заметим, что \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \). 2) Вынесем \( 6\sqrt{2} \) за скобки: \[ 6\sqrt{2} (2 \cos^2 \frac{13\pi}{8} - 1) \] 3) Используем формулу \( 2\cos^2 x - 1 = \cos 2x \): \[ 6\sqrt{2} \cos (2 \cdot \frac{13\pi}{8}) = 6\sqrt{2} \cos \frac{13\pi}{4} \] 4) Упростим аргумент: \( \frac{13\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4} \). По формулам приведения \( \cos(3\pi + \alpha) = -\cos \alpha \): \[ 6\sqrt{2} \cdot (-\cos \frac{\pi}{4}) = 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{6 \cdot 2}{2} = -6 \] Ответ: -6.