Решение задач по алгебре с объяснением формул

Ниже представлены подробные решения задач с использованием тригонометрических формул, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения: \[ \frac{-30}{\sin^2 49^\circ - 3 + \sin^2 41^\circ} \] Решение: Воспользуемся формулой приведения: \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \). Заметим, что \( 41^\circ = 90^\circ - 49^\circ \), следовательно: \[ \sin^2 41^\circ = \sin^2 (90^\circ - 49^\circ) = \cos^2 49^\circ \] Подставим это в знаменатель: \[ \frac{-30}{\sin^2 49^\circ + \cos^2 49^\circ - 3} \] Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \[ \frac{-30}{1 - 3} = \frac{-30}{-2} = 15 \] Ответ: 15. Задание 2. Найдите значение выражения: \[ 83\sqrt{3} \cos^2 \frac{5\pi}{12} - 83\sqrt{3} \sin^2 \frac{5\pi}{12} \] Решение: Вынесем общий множитель за скобки: \[ 83\sqrt{3} \left( \cos^2 \frac{5\pi}{12} - \sin^2 \frac{5\pi}{12} \right) \] Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \). \[ 83\sqrt{3} \cdot \cos \left( 2 \cdot \frac{5\pi}{12} \right) = 83\sqrt{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \] По формулам приведения или таблице значений: \( \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). \[ 83\sqrt{3} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{83 \cdot 3}{2} = -\frac{249}{2} = -124,5 \] Ответ: -124,5. Задание 3. Найдите \( -25 \cos 2\alpha \), если \( \sin \alpha = 0,2 \). Решение: Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через синус: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \). Подставим значение синуса: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (0,2)^2 = 1 - 2 \cdot 0,04 = 1 - 0,08 = 0,92 \] Теперь найдем искомое значение: \[ -25 \cdot 0,92 = -23 \] Ответ: -23. Задание 4. Найдите значение выражения: \[ 14\sqrt{3} \cos^2 \left( \frac{19\pi}{12} \right) - \sqrt{147} \] Решение: Преобразуем второй корень: \( \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3} \). Выражение принимает вид: \[ 14\sqrt{3} \cos^2 \left( \frac{19\pi}{12} \right) - 7\sqrt{3} \] Вынесем \( 7\sqrt{3} \) за скобки: \[ 7\sqrt{3} \left( 2\cos^2 \frac{19\pi}{12} - 1 \right) \] Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( 2\cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha) \). \[ 7\sqrt{3} \cdot \cos \left( 2 \cdot \frac{19\pi}{12} \right) = 7\sqrt{3} \cdot \cos \frac{19\pi}{6} \] Упростим аргумент косинуса: \( \frac{19\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} \). По формулам приведения: \( \cos(3\pi + \alpha) = -\cos \alpha \). \[ 7\sqrt{3} \cdot \left( -\cos \frac{\pi}{6} \right) = 7\sqrt{3} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{7 \cdot 3}{2} = -10,5 \] Ответ: -10,5. Задание 5. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{162} - 18\sqrt{2} \sin^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right) \] Решение: Упростим первый корень: \( \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2} \). Выражение принимает вид: \[ 9\sqrt{2} - 18\sqrt{2} \sin^2 \frac{9\pi}{8} \] Вынесем \( 9\sqrt{2} \) за скобки: \[ 9\sqrt{2} \left( 1 - 2\sin^2 \frac{9\pi}{8} \right) \] Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( 1 - 2\sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \). \[ 9\sqrt{2} \cdot \cos \left( 2 \cdot \frac{9\pi}{8} \right) = 9\sqrt{2} \cdot \cos \frac{9\pi}{4} \] Упростим аргумент: \( \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \). Так как период косинуса \( 2\pi \): \[ 9\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9 \] Ответ: 9.