Решение задачи: PE || NK, найти MK, PE:NK, S_MEP:S_MKN

Контрольная работа №4. Вариант-2. Задача № 1. Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MEP} : S_{MKN}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(MEP\) и \(MKN\). У них угол \(M\) — общий, а \(\angle MEP = \angle MKN\) как соответственные углы при \(PE \parallel NK\) и секущей \(MK\). Следовательно, \(\triangle MEP \sim \triangle MKN\) по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{PE}{NK} \] а) Найдем \(MK\): \[ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} \] \[ MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \] б) Найдем отношение \(PE : NK\): \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(2 : 3\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\). \[ k = \frac{MP}{MN} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: \(4 : 9\). Задача № 2. Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\), \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Найти: \(AC\), \(\angle C\). Решение: 1. Проверим подобие треугольников \(ABC\) и \(MNK\). У них \(\angle B = \angle N = 70^\circ\). Отношения прилежащих сторон: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = 2\). 2. Найдем сторону \(AC\): \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см.} \] 3. В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Углу \(C\) соответствует угол \(K\). \[ \angle C = \angle K = 60^\circ \] Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). Задача № 3. Дано: \(AB \cap CD = O\), \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\), \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\). \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию). \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] 3. Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ P_{ACO} = \frac{21 \cdot 2}{3} = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см.} \] Ответ: \(14\) см.