Решение задачи 7: Метод координат в кубе

Задание 7 Решение: Для решения задачи воспользуемся методом координат, который удобно визуализировать через достраивание или введение системы координат в кубе. Пусть ребро куба равно 2. Введем систему координат с началом в точке \(D(0, 0, 0)\). Тогда оси направим следующим образом: \(DA\) — ось \(x\), \(DC\) — ось \(y\), \(DD_1\) — ось \(z\). Координаты вершин и точек: \(D(0, 0, 0)\) \(A(2, 0, 0)\) \(B(2, 2, 0)\) \(C(0, 2, 0)\) \(A_1(2, 0, 2)\) \(B_1(2, 2, 2)\) \(C_1(0, 2, 2)\) \(D_1(0, 0, 2)\) Найдем координаты точек \(M\), \(N\) и \(K\): 1. Точка \(M\) — середина \(DD_1\): \[M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = M(0, 0, 1)\] 2. Точка \(N\) — середина \(C_1D_1\): \[N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = N(0, 1, 2)\] 3. Точка \(K\) — центр грани \(AA_1B_1B\). Это середина отрезка \(AB_1\): \[K\left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = K(2, 1, 1)\] Найдем направляющие векторы прямых \(B_1M\) и \(KN\): \[\vec{B_1M} = (0 - 2, 0 - 2, 1 - 2) = (-2, -2, -1)\] \[\vec{KN} = (0 - 2, 1 - 1, 2 - 1) = (-2, 0, 1)\] Найдем косинус угла \(\alpha\) между векторами по формуле: \[\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] Скалярное произведение векторов: \[\vec{B_1M} \cdot \vec{KN} = (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 4 + 0 - 1 = 3\] Длины векторов: \[|\vec{B_1M}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\] \[|\vec{KN}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}\] Вычисляем косинус: \[\cos \alpha = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\] Следовательно, угол \(\alpha\) равен: \[\alpha = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)\] Ответ: \(\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\) (или \(\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}\)).