Решение контрольной работы Вариант №2

Вариант №2. Задание 1. Найти стационарные точки функции \(f(x) = x^3 - x^2 + 1\). Решение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. 1) Найдем производную: \[f'(x) = (x^3 - x^2 + 1)' = 3x^2 - 2x\] 2) Приравняем производную к нулю: \[3x^2 - 2x = 0\] \[x(3x - 2) = 0\] \[x_1 = 0; \quad 3x = 2 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}\] Ответ: \(0; \frac{2}{3}\). Задание 2. Найти экстремумы функции. а) \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\) 1) Производная: \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\). 2) \(3x^2 - 6x + 2 = 0\). \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\] Это точки экстремума. Чтобы найти сами экстремумы (значения функции), нужно подставить эти точки в \(f(x)\). б) \(f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x}\) 1) Производная: \(f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} - 2 \cdot 3e^{3x} = 6e^{2x} - 6e^{3x}\). 2) \(6e^{2x} - 6e^{3x} = 0 \Rightarrow 6e^{2x}(1 - e^x) = 0\). Так как \(6e^{2x} \neq 0\), то \(1 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). 3) Значение функции в точке \(x = 0\): \[f(0) = 3e^0 - 2e^0 = 3 - 2 = 1\] Ответ: \(f_{max} = 1\) при \(x = 0\). Задание 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1\). Решение: 1) Производная: \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 24\). 2) Найдем критические точки: \(3(x^2 + 2x - 8) = 0\). По теореме Виета: \(x_1 = -4, x_2 = 2\). 3) Определим знаки производной на интервалах: — На \((-\infty; -4)\): \(f'(-5) > 0\) (возрастает). — На \((-4; 2)\): \(f'(0) < 0\) (убывает). — На \((2; +\infty)\): \(f'(3) > 0\) (возрастает). Ответ: возрастает на \((-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\), убывает на \([-4; 2]\). Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - x^2 + 1\) на отрезке \([-2; 1]\). Решение: 1) Стационарные точки (из задания 1): \(x = 0\) и \(x = \frac{2}{3}\). Обе точки входят в отрезок. 2) Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка: \[f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -8 - 4 + 1 = -11\] \[f(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1\] \[f(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 + 1 = 8/27 - 4/9 + 1 = 8/27 - 12/27 + 27/27 = 23/27 \approx 0,85\] \[f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1\] Ответ: \(max = 1\); \(min = -11\). Задание 5. Исследовать функцию \(f(x) = x^4 - 2x^2\) и построить график. 1) Область определения: \(D(f) = R\). 2) Четность: \(f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)\). Функция четная (график симметричен относительно оси \(Oy\)). 3) Нули функции: \(x^2(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{2}\). 4) Производная: \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)\). Критические точки: \(x = 0, x = 1, x = -1\). 5) Экстремумы: \(f(-1) = 1 - 2 = -1\) (минимум) \(f(0) = 0\) (максимум) \(f(1) = 1 - 2 = -1\) (минимум) 6) График: По форме напоминает букву "W", проходит через точки \((-\sqrt{2}; 0), (-1; -1), (0; 0), (1; -1), (\sqrt{2}; 0)\).