Решение задачи по технической механике: Сила натяжения и реакция опоры

Дано: \(G = 50\) Н \(\alpha = 30^{\circ}\) (угол наклона плоскости к вертикали) \(\beta = 20^{\circ}\) (угол между нитью и наклонной плоскостью) Найти: \(T\) — сила натяжения нити \(N\) — сила реакции наклонной плоскости Решение: 1. Рассмотрим равновесие шара. На него действуют три силы: — Сила тяжести \(G\), направленная вертикально вниз. — Сила натяжения нити \(T\), направленная вдоль нити. — Сила реакции опоры \(N\), направленная перпендикулярно наклонной плоскости. 2. Выберем систему координат. Пусть ось \(Ox\) направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось \(Oy\) перпендикулярно ей в сторону шара. 3. Определим углы сил с осями: — Сила \(G\) образует с осью \(Oy\) угол \(\alpha = 30^{\circ}\). Следовательно, проекция на \(Ox\) равна \(G \cdot \sin(30^{\circ})\), а на \(Oy\) равна \(-G \cdot \cos(30^{\circ})\). — Сила \(T\) образует с осью \(Ox\) угол \(\beta = 20^{\circ}\) (направлена против оси). Проекция на \(Ox\) равна \(-T \cdot \cos(20^{\circ})\), на \(Oy\) равна \(T \cdot \sin(20^{\circ})\). — Сила \(N\) направлена вдоль оси \(Oy\). Проекция на \(Ox\) равна \(0\), на \(Oy\) равна \(N\). 4. Составим уравнения равновесия (сумма проекций сил на оси равна нулю): \[ \sum F_x = 0 \Rightarrow G \cdot \sin(30^{\circ}) - T \cdot \cos(20^{\circ}) = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow N + T \cdot \sin(20^{\circ}) - G \cdot \cos(30^{\circ}) = 0 \] 5. Из первого уравнения находим \(T\): \[ T = \frac{G \cdot \sin(30^{\circ})}{\cos(20^{\circ})} \] \[ T = \frac{50 \cdot 0,5}{0,9397} \approx 26,61 \text{ Н} \] 6. Из второго уравнения находим \(N\): \[ N = G \cdot \cos(30^{\circ}) - T \cdot \sin(20^{\circ}) \] \[ N = 50 \cdot 0,866 - 26,61 \cdot 0,342 \] \[ N = 43,3 - 9,1 \approx 34,2 \text{ Н} \] Ответ: \(T \approx 26,61\) Н, \(N \approx 34,2\) Н.