Решение задачи: Найти расстояние от точки до плоскости в кубе методом объемов

Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб, ребро \(a = 2\). Найти: \(d(A, (CB_1D_1))\). Решение: 1. Рассмотрим пирамиду \(AB_1D_1C\). Чтобы найти расстояние от точки \(A\) до плоскости \(CB_1D_1\), воспользуемся методом объемов. Заметим, что искомое расстояние \(h\) является высотой пирамиды \(AB_1D_1C\), опущенной из вершины \(A\) на основание \(CB_1D_1\). 2. Объем пирамиды \(AB_1D_1C\) можно вычислить двумя способами: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{CB_1D_1} \cdot h \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{AB_1D_1} \cdot H \] где \(H\) — высота, опущенная из точки \(C\) на плоскость \(AB_1D_1\). Однако проще вычислить объем этой пирамиды, вычтя из объема куба объемы четырех прямоугольных пирамид, отсекаемых от углов куба: \(C_1CB_1D_1\), \(D_1DCA\), \(B_1BCA\) и \(A_1AB_1D_1\). 3. Вычислим объем куба: \[ V_{куб} = a^3 = 2^3 = 8 \] 4. Каждая из четырех отсекаемых пирамид (например, \(C_1CB_1D_1\)) является прямоугольной с ребрами длиной 2. Объем одной такой пирамиды: \[ V_{отс} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \right) \cdot 2 = \frac{4}{3} \] 5. Объем пирамиды \(AB_1D_1C\): \[ V = V_{куб} - 4 \cdot V_{отс} = 8 - 4 \cdot \frac{4}{3} = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3} \] 6. Найдем площадь основания \(CB_1D_1\). Стороны этого треугольника являются диагоналями граней куба. \[ CB_1 = B_1D_1 = D_1C = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Следовательно, \(\triangle CB_1D_1\) — равносторонний со стороной \(b = 2\sqrt{2}\). Площадь равностороннего треугольника: \[ S_{CB_1D_1} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \] 7. Теперь выразим искомое расстояние \(h\) из формулы объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{CB_1D_1} \cdot h \implies \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot h \] \[ 8 = 2\sqrt{3} \cdot h \] \[ h = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \)