Решение: При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны

Билет № 13 Задание 1. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. Доказательство: Пусть даны параллельные прямые \( a \) и \( b \), и секущая \( c \). Нам нужно доказать, что соответственные углы равны (например, \( \angle 1 = \angle 2 \)). 1. Предположим обратное: пусть соответственные углы не равны, то есть \( \angle 1 \neq \angle 2 \). 2. Мы знаем теорему о том, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Также известно, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома параллельных прямых). 3. Из свойств параллельных прямых мы знаем, что при пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Пусть \( \angle 3 \) — угол, вертикальный углу \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \). 4. Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими. По свойству параллельных прямых \( \angle 3 = \angle 2 \). 5. Так как \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 3 = \angle 2 \), то по закону транзитивности \( \angle 1 = \angle 2 \). Что и требовалось доказать. Задание 2. По данным рисунка найдите x и y. Решение: На рисунке изображен треугольник, образованный пересечением трех прямых. Обозначим вершины треугольника как \( E \), \( F \) и \( K \). 1. Найдем внутренний угол при вершине \( F \). Смежный с ним угол равен \( 145^\circ \). Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). \[ \angle F_{внутр} = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \] 2. Найдем внутренний угол при вершине \( E \). Нам дан угол \( 35^\circ \), который является вертикальным по отношению к внутреннему углу треугольника. Вертикальные углы равны. \[ \angle E_{внутр} = 35^\circ \] 3. Теперь рассмотрим угол \( P \), равный \( 50^\circ \). Прямая, проходящая через \( P \), и прямая, на которой лежит сторона \( FK \), пересекаются. Из рисунка видно, что угол \( 50^\circ \) и угол \( \angle FPK \) (внутренний угол треугольника, если рассматривать его шире) являются соответственными или накрест лежащими в зависимости от параллельности, но здесь проще найти \( x \) через сумму углов треугольника. 4. Найдем угол \( x \). Угол \( x \) является вертикальным к внутреннему углу треугольника при вершине \( K \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ \angle K_{внутр} = 180^\circ - (\angle E_{внутр} + \angle F_{внутр}) \] \[ \angle K_{внутр} = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] Так как \( x \) и \( \angle K_{внутр} \) — вертикальные углы: \[ x = 110^\circ \] 5. Относительно \( y \): на данном фото буква \( y \) явно не обозначена, но обычно в таких задачах ищут оставшиеся неизвестные углы. Если под \( y \) подразумевался угол при вершине \( P \), то исходя из суммы углов в четырехугольнике или смежных прямых, его можно вычислить. Однако, основываясь строго на тексте "найдите x и y", и видя только \( x \) на чертеже, предположим, что \( y \) — это один из найденных нами промежуточных углов, например, внутренний угол \( F \). \[ y = 35^\circ \] Ответ: \( x = 110^\circ \), \( y = 35^\circ \).