Решение контрольной работы по геометрии 9 класс. Вариант №2

Контрольная работа по геометрии. Вариант №2. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( AC = 8 \) см, \( AB = 6\sqrt{3} \) см, \( \angle A = 60^\circ \). Найти: \( S_{ABC} \). Решение: Площадь треугольника находится по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ \] Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36 \text{ (см}^2) \] Ответ: 36 \( \text{см}^2 \). Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( BC = 16 \) см, \( AB = 5 \) см, \( \angle B = 45^\circ \). Найти: \( AC \). Решение: По теореме косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] \[ AC^2 = 5^2 + 16^2 - 2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \cos 45^\circ \] \[ AC^2 = 25 + 256 - 160 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ AC^2 = 281 - 80\sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{281 - 80\sqrt{2}} \text{ (см)} \] Ответ: \( \sqrt{281 - 80\sqrt{2}} \) см. Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 60^\circ \), \( AB = 12\sqrt{3} \). Найти: \( R \). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \] Отсюда радиус описанной окружности: \[ R = \frac{AB}{2 \sin C} \] \[ R = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \] Ответ: 12. Задача 4. Дано: \( \triangle ABC \), \( BC = 5\sqrt{2} \), \( AC = 7 \), \( \angle A = 135^\circ \). Решить треугольник (найти остальные стороны и углы). Решение: 1) По теореме синусов найдем \( \sin B \): \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} \] \[ \sin B = \frac{7 \cdot \sin 135^\circ}{5\sqrt{2}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10} = 0,7 \] \[ \angle B = \arcsin(0,7) \approx 44^\circ \] 2) Найдем угол \( C \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (135^\circ + 44^\circ) = 1^\circ \] 3) Найдем сторону \( AB \) по теореме синусов: \[ AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin 1^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin 1^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot \sin 1^\circ \approx 10 \cdot 0,0175 = 0,175 \] Ответ: \( \angle B \approx 44^\circ \), \( \angle C \approx 1^\circ \), \( AB \approx 0,175 \). Задача 5*. Дано: \( \triangle ABC \), \( R = 6\sqrt{3} \) см, \( AB = 18 \) см. Найти: \( \angle C \). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{AB}{2R} \] \[ \sin C = \frac{18}{2 \cdot 6\sqrt{3}} = \frac{18}{12\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Уравнение \( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет два решения для углов треугольника: 1) \( \angle C = 60^\circ \) 2) \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) Ответ: \( 60^\circ \) или \( 120^\circ \).