Решение задачи по геометрии: углы и параллельные прямые

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Выпишите углы. а) Накрест лежащие углы: Внутренние: \( \angle 4 \) и \( \angle 6 \), \( \angle 3 \) и \( \angle 5 \). Внешние: \( \angle 1 \) и \( \angle 7 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 8 \). б) Соответственные углы: \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 6 \), \( \angle 4 \) и \( \angle 8 \), \( \angle 3 \) и \( \angle 7 \). в) Односторонние углы: Внутренние: \( \angle 4 \) и \( \angle 5 \), \( \angle 3 \) и \( \angle 6 \). Внешние: \( \angle 1 \) и \( \angle 8 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 7 \). Задача 2. Прямые \( a \) и \( b \) параллельны. Какие утверждения верны: а) \( \angle 1 = \angle 3 \) — Верно (вертикальные углы). б) \( \angle 1 = \angle 7 \) — Верно (внешние накрест лежащие при \( a \parallel b \)). в) \( \angle 4 = \angle 7 \) — Неверно (это разные углы, их сумма \( 180^\circ \)). г) \( \angle 8 = \angle 1 \) — Неверно (внешние односторонние, сумма \( 180^\circ \)). д) \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ \) — Верно (сумма углов вокруг одной точки). е) \( \angle 5 = \angle 1 \) — Верно (соответственные углы при \( a \parallel b \)). Задача 3. Прямые \( a \parallel b \). \( \angle 3 = 5a \), \( \angle 4 = a \). Найти \( \angle 7 \). Решение: Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) являются смежными, поэтому их сумма равна \( 180^\circ \). \[ 5a + a = 180^\circ \] \[ 6a = 180^\circ \] \[ a = 30^\circ \] Следовательно, \( \angle 4 = 30^\circ \), а \( \angle 3 = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ \). Так как \( a \parallel b \), то соответственные углы равны: \( \angle 7 = \angle 3 = 150^\circ \). Ответ: \( \angle 7 = 150^\circ \). Задача 4. Докажите, что \( NK \parallel MP \). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник \( NKP \). По рисунку \( NK = KP \), значит треугольник равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle KNP = \angle KPN \). 3. По рисунку \( \angle KPN = \angle NPM \) (биссектриса). 4. Следовательно, \( \angle KNP = \angle NPM \). 5. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( NK \), \( MP \) и секущей \( NP \). 6. Так как накрест лежащие углы равны, то \( NK \parallel MP \), что и требовалось доказать. Задача 5. Докажите, что \( PS \parallel MK \). Дано: \( MN = NK \), \( MP = PS \), \( \angle MKN = 66^\circ \), \( \angle SMK = 33^\circ \). Доказательство: 1. В треугольнике \( MNK \) сторона \( MN = NK \), значит он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle NMK = \angle MKN = 66^\circ \). 2. Найдем угол \( PMS \). По условию \( \angle SMK = 33^\circ \). Тогда \( \angle PMS = \angle NMK - \angle SMK = 66^\circ - 33^\circ = 33^\circ \). 3. В треугольнике \( MPS \) сторона \( MP = PS \), значит он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle PMS = \angle PSM = 33^\circ \). 4. Рассмотрим прямые \( PS \) и \( MK \) и секущую \( MS \). 5. Углы \( \angle PSM \) и \( \angle SMK \) равны \( 33^\circ \). Они являются накрест лежащими. 6. Так как накрест лежащие углы равны, то \( PS \parallel MK \), что и требовалось доказать.