Решение задачи: Гармонические колебания простейших механических осцилляторов

Гармонические колебания простейших механических осцилляторов Гармоническими называют колебания, при которых физическая величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Общее уравнение гармонических колебаний для координаты \(x\) имеет вид: \[x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)\] где \(A\) — амплитуда, \(\omega_0\) — циклическая частота, \(\phi_0\) — начальная фаза. 1. Пружинный маятник Пружинный маятник представляет собой груз массой \(m\), прикрепленный к абсолютно упругой пружине с жесткостью \(k\). Сила, вызывающая колебания (сила упругости), подчиняется закону Гука: \[F_x = -kx\] Согласно второму закону Ньютона (\(F = ma\)): \[ma_x = -kx\] Учитывая, что ускорение — это вторая производная координаты по времени (\(a = x''\)), получаем дифференциальное уравнение: \[x'' + \frac{k}{m}x = 0\] Циклическая частота колебаний пружинного маятника: \[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\] Период колебаний пружинного маятника (формула Гюйгенса): \[T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] 2. Математический маятник Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой \(m\), подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной \(l\). При малых углах отклонения \(\alpha\) (когда \(\sin \alpha \approx \alpha\) в радианах), возвращающая сила (проекция силы тяжести) пропорциональна смещению: \[F_{\tau} = -mg \sin \alpha \approx -mg \alpha\] Так как дуга смещения \(s = l\alpha\), то уравнение движения принимает вид: \[ma_{\tau} = -mg \frac{s}{l}\] \[s'' + \frac{g}{l}s = 0\] Циклическая частота колебаний математического маятника: \[\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}\] Период колебаний математического маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] Основные выводы: - Период пружинного маятника зависит от массы груза и жесткости пружины. - Период математического маятника зависит только от длины нити и ускорения свободного падения \(g\), и не зависит от массы груза. - В обоих случаях период не зависит от амплитуды колебаний (свойство изохронности), что крайне важно для точности измерительных приборов, созданных нашими великими учеными и инженерами.