Решение задачи: Ускорение и силы в системе с барабанами

Задача 2 Дано: Масса первого груза: \(M_1\) Масса второго груза: \(M_2\) Радиус малого барабана: \(r_1\) Радиус большого барабана: \(r_2\) Масса барабанов: \(m = 0\) Найти: \(\varepsilon\) — угловое ускорение системы. Решение: 1. Опишем кинематическую связь. Барабаны жестко закреплены на одной оси, поэтому они вращаются с одинаковым угловым ускорением \(\varepsilon\). Линейные ускорения грузов связаны с угловым ускорением через радиусы барабанов: Ускорение груза \(M_1\): \(a_1 = \varepsilon r_1\) Ускорение груза \(M_2\): \(a_2 = \varepsilon r_2\) Предположим, что система вращается по часовой стрелке (груз \(M_2\) опускается, груз \(M_1\) поднимается). 2. Запишем уравнения движения для грузов (второй закон Ньютона). Для груза \(M_1\) (движется вверх): \[T_1 - M_1 g = M_1 a_1 \Rightarrow T_1 = M_1(g + \varepsilon r_1)\] Для груза \(M_2\) (движется вниз): \[M_2 g - T_2 = M_2 a_2 \Rightarrow T_2 = M_2(g - \varepsilon r_2)\] Здесь \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения нитей. 3. Запишем уравнение вращательного движения барабанов. Основное уравнение динамики вращательного движения: \[M_{ext} = J \varepsilon\] Так как массой барабанов по условию можно пренебречь, их момент инерции \(J = 0\). Следовательно, суммарный момент внешних сил относительно оси вращения должен быть равен нулю: \[\sum M_z = T_2 r_2 - T_1 r_1 = 0\] Отсюда: \[T_2 r_2 = T_1 r_1\] 4. Подставим выражения для \(T_1\) и \(T_2\) в уравнение моментов: \[M_2(g - \varepsilon r_2) r_2 = M_1(g + \varepsilon r_1) r_1\] Раскроем скобки: \[M_2 g r_2 - M_2 \varepsilon r_2^2 = M_1 g r_1 + M_1 \varepsilon r_1^2\] 5. Сгруппируем слагаемые с \(\varepsilon\) в одной части уравнения, а с \(g\) — в другой: \[M_2 g r_2 - M_1 g r_1 = M_1 \varepsilon r_1^2 + M_2 \varepsilon r_2^2\] Вынесем общие множители за скобки: \[g (M_2 r_2 - M_1 r_1) = \varepsilon (M_1 r_1^2 + M_2 r_2^2)\] 6. Выразим угловое ускорение \(\varepsilon\): \[\varepsilon = g \frac{M_2 r_2 - M_1 r_1}{M_1 r_1^2 + M_2 r_2^2}\] Данный результат полностью совпадает с ответом, приведенным в задачнике. Это классическая задача на законы механики, которые лежат в основе проектирования любых подъемных механизмов. Ответ: \(\varepsilon = g \frac{M_2 r_2 - M_1 r_1}{M_1 r_1^2 + M_2 r_2^2}\).