Решение задач по геометрии: параллелограмм и ромб

Задача №1. Дано: Параллелограмм \(ABCD\). \(a = 14\) см, \(b = 15,2\) см. \(\alpha = 30^{\circ}\). Найти: \(S\). Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле через две стороны и угол между ними: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] Подставим значения: \[S = 14 \cdot 15,2 \cdot \sin(30^{\circ})\] Так как \(\sin(30^{\circ}) = 0,5\), получаем: \[S = 14 \cdot 15,2 \cdot 0,5 = 7 \cdot 15,2 = 106,4 \text{ см}^2\] Ответ: \(106,4 \text{ см}^2\). Чертеж: Нарисуйте наклонный четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Обозначьте нижнюю сторону как 15,2 см, боковую как 14 см, а угол между ними в левом нижнем углу подпишите \(30^{\circ}\). --- Задача №2. Дано: Ромб. \(d_2 = 5 \cdot d_1\). \(S = 10 \text{ см}^2\). Найти: \(d_1, d_2\). Решение: Площадь ромба через диагонали выражается формулой: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] Подставим условие \(d_2 = 5d_1\) в формулу: \[10 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 5d_1\] \[10 = 2,5 \cdot d_1^2\] \[d_1^2 = 10 : 2,5 = 4\] \[d_1 = 2 \text{ см}\] Найдем вторую диагональ: \[d_2 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}\] Ответ: 2 см и 10 см. Чертеж: Нарисуйте ромб в виде вытянутого по горизонтали "алмаза". Проведите внутри две перпендикулярные линии (диагонали). Короткую вертикальную подпишите 2 см, длинную горизонтальную — 10 см. --- Задача №3. Дано: \(\triangle ABC\). \(AB = 8\) см, \(BC = 5\) см. \(h_{AB} = 4\) см (высота к стороне \(AB\)). Найти: \(h_{BC}\) (высоту к стороне \(BC\)). Решение: Площадь треугольника можно найти двумя способами через разные стороны и соответствующие им высоты: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}\] Сначала найдем площадь: \[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2\] Теперь выразим искомую высоту: \[16 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_{BC}\] \[16 = 2,5 \cdot h_{BC}\] \[h_{BC} = 16 : 2,5 = 6,4 \text{ см}\] Ответ: 6,4 см. Чертеж: Нарисуйте произвольный треугольник \(ABC\). Из вершины \(C\) проведите перпендикуляр к стороне \(AB\) и подпишите его 4 см. Из вершины \(A\) проведите перпендикуляр к стороне \(BC\) (или её продолжению) — это и будет искомая высота. --- Задача №4. Дано: Равнобокая трапеция. \(h = 7\) см. \(\alpha = 60^{\circ}\) (острый угол). \(b = 3\) см (меньшее основание). \(c = 4\) см (боковая сторона). Найти: \(S\). Решение: Для площади трапеции \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\) нам нужно найти большее основание \(a\). В равнобокой трапеции большее основание \(a = b + 2x\), где \(x\) — отрезок, отсекаемый высотой на большем основании. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком \(x\): \[x = c \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot 0,5 = 2 \text{ см}\] Тогда большее основание: \[a = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \text{ см}\] Вычисляем площадь: \[S = \frac{7 + 3}{2} \cdot 7 = \frac{10}{2} \cdot 7 = 5 \cdot 7 = 35 \text{ см}^2\] Ответ: \(35 \text{ см}^2\). Чертеж: Нарисуйте симметричную трапецию. Верхнее основание подпишите 3 см, боковую сторону 4 см. Проведите высоту внутри, подпишите её 7 см. Угол при нижнем основании обозначьте \(60^{\circ}\).