Решение задачи с корнями и пределом через правило Лопиталя

Ниже представлено решение задачи через производные (правило Лопиталя), так как при подстановке \(x = 0\) получается неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Решение: При \(x \to 0\) имеем: Числитель: \(\sqrt{1+0} - \sqrt{1-0} = 1 - 1 = 0\) Знаменатель: \(\sqrt[7]{0} + \sqrt[5]{0} = 0 + 0 = 0\) Применим правило Лопиталя (возьмем производные от числителя и знаменателя): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt[7]{x} + \sqrt[5]{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})'}{(\sqrt[7]{x} + \sqrt[5]{x})'} = \] Найдем производные: 1. \((\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}\) 2. \((\sqrt[7]{x} + \sqrt[5]{x})' = (x^{1/7} + x^{1/5})' = \frac{1}{7}x^{-6/7} + \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}\) Подставим производные в предел: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{\frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}} \] При \(x \to 0\) числитель стремится к: \[ \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Знаменатель при \(x \to 0\) стремится к бесконечности (\(+\infty\)), так как мы делим на бесконечно малые величины: \[ \frac{1}{0} + \frac{1}{0} \to \infty \] Следовательно: \[ \frac{1}{\infty} = 0 \] Ответ: 0.