Решение предела: lim (x→+∞) (√(x²-3x+2) - x)

Ниже представлено решение задачи, оформленное для переписывания в тетрадь. Для решения избавимся от иррациональности, умножив и разделив выражение на сопряженное. Решение: Умножим и разделим на сопряженное выражение \( (\sqrt{x^2-3x+2} + x) \), используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-3x+2} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2-3x+2} - x)(\sqrt{x^2-3x+2} + x)}{\sqrt{x^2-3x+2} + x} = \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2-3x+2) - x^2}{\sqrt{x^2-3x+2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x+2}{\sqrt{x^2-3x+2} + x} \] Выделим главные степени в числителе и знаменателе (как в первом примере): В числителе это \( -3x \). В знаменателе под корнем главная степень \( x^2 \), при выносе из-под корня она дает \( x \). Тогда знаменатель ведет себя как \( x + x = 2x \). \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{x + x} = \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{2x} = -\frac{3}{2} = -1,5 \] Ответ: -1,5.