Решение задачи: предел с использованием правила Лопиталя

Ниже представлено решение задачи с использованием правила Лопиталя (через производные, обозначаемые штрихом), так как при подстановке \(x = -2\) получается неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Решение: При \(x \to -2\) имеем: Числитель: \((-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0\) Знаменатель: \(\sqrt{3 + (-2)} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0\) Применим правило Лопиталя (возьмем производные от числителя и знаменателя): \[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{\sqrt{3 + x} - 1} = \lim_{x \to -2} \frac{(x^2 + x - 2)'}{(\sqrt{3 + x} - 1)'} = \] Найдем производные: 1. \((x^2 + x - 2)' = 2x + 1\) 2. \((\sqrt{3 + x} - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{3 + x}} \cdot (3 + x)' = \frac{1}{2\sqrt{3 + x}}\) Подставим производные в предел: \[ = \lim_{x \to -2} \frac{2x + 1}{\frac{1}{2\sqrt{3 + x}}} = \lim_{x \to -2} (2x + 1) \cdot 2\sqrt{3 + x} = \] Теперь подставим \(x = -2\): \[ = (2 \cdot (-2) + 1) \cdot 2\sqrt{3 - 2} = (-4 + 1) \cdot 2\sqrt{1} = -3 \cdot 2 = -6 \] Ответ: -6.